[논문 리뷰] Explicit One-Step Strong Numerical Methods of Orders 2.0 and 2.5 for Ito Stochastic Differential Equations Based on the Unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich Expansions

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 32인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 다차원 비가환성 노이즈를 가진 이토 스토크라스틱 미분 방정식을 위한 명시적 1단계 강수치 방법(2.0차 및 2.5차)을 제시한다. 이는 통합된 테일러–이토 및 테일러–스트라토노비치 전개를 사용하며, 반복 이토 및 스트라토노비치 스토크라스틱 적분(다중도 1에서 5까지)을 일반화된 다중 푸리에–레지온드르 급수를 통해 근사한다. 이로 인해 다양한 적분 유형에 대해 높은 정확도의 평균 제곱수 수렴과 명시적인 오차 추정치를 달성한다.

ABSTRACT

The article is devoted to the construction of explicit one-step strong numerical methods with the orders 2.0 and 2.5 of convergence for Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noise. We consider the numerical methods based on the unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions. For the numerical modeling of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 5 we apply the method of multiple Fourier-Legendre series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k=1,\ldots,5$. The article is addressed to engineers who use numerical modeling in stochastic control and for solving the non-linear filtering problem. The article will be interesting to scientists who working in the field of numerical integration of stochastic differential equations.

연구 동기 및 목표

• 비가환성 노이즈를 가진 다차원 이토 SDE에 대해 2.0차 및 2.5차 명시적 1단계 강수치 방법을 개발한다.
• 다중도 5까지의 반복 이토 및 스트라토노비치 스토크라스틱 적분의 정확한 평균 제곱수 근사 문제를 다룬다.
• 고차수 수치적 방법을 구성하기 위해 테일러–이토 및 테일러–스트라토노비치 전개를 통합한다.
• 일반화된 다중 푸리에–레지온드르 급수를 사용하여 계산적으로 실현 가능하고 수치적으로 안정적인 스토크라스틱 적분 근사 방법을 제공한다.

제안 방법

• 이토 SDE에 대한 고차수 수치적 방법을 도출하기 위해 통합된 테일러–이토 및 테일러–스트라토노비치 전개를 사용한다.
• 반복 이토 및 스트라토노비치 스토크라스틱 적분(다중도 1에서 5까지)을 $L_2([t,T]^k)$에서의 일반화된 다중 푸리에 급수를 통해 근사한다.
• 다중 푸리에–레지온드르 급수 전개를 활용하여 힐베르트 공간 노름에서 수렴하는 방식으로 스토크라스틱 적분을 표현한다.
• 반복 적분의 푸리에–레지온드르 전개에서 계수 $C_{j_k o j_1}^{(i_1 o i_k)}$에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 이토 및 스트라토노비치 적분 간의 관계를 활용하여 혼합형 적분의 오차 추정치를 도출한다.
• 시간 간격 $\Delta$와 전개 항 수 $q$에 의존하는 평균 제곱수 오차 경계를 통해 수렴성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환성 노이즈를 가진 다차원 이토 SDE에 대해 2.0차 및 2.5차 명시적 1단계 강수치 방법을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 다중도 1에서 5까지의 반복 이토 및 스트라토노비치 스토크라스틱 적분을 높은 정확도로 근사하는 최적의 방법은 무엇인가?
• RQ3 푸리에–레지온드르 급수 근사의 평균 제곱수 오차는 전개 항 수 $q$와 시간 간격 $\Delta$에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 테일러–이토 및 테일러–스트라토노비치 전개를 기반으로 한 통합 프레임워크는 안정적이고 수렴하는 고차수 수치적 방법을 도출할 수 있는가?
• RQ5 특정 반복 적분, 예를 들어 $I_{(000) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3)}$ 및 $I_{(100) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3)}$의 근사에 대한 명시적 오차 추정치는 무엇인가?

주요 결과

• 통합된 테일러 전개를 사용하여 다차원 비가환성 노이즈를 가진 이토 SDE에 대해 강수렴 2.0차 및 2.5차를 달성한다.
• 근사된 반복 이토 및 스트라토노비치 적분의 평균 제곱수 오차는 명시적으로 경계되며, 다중도 및 계수 개수에 따라 $\Delta^3$, $\Delta^4$, $\Delta^5$의 오차 수준을 보여주는 예시가 있다.
• 전개 항 수 $q=6$일 때 $I_{(000) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3)}$의 평균 제곱수 오차는 약 $0.01956\Delta^3$이며, 높은 정확도를 보여준다.
• 전개 항 수 $q=2$일 때 $I_{(100) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3)}$의 오차는 약 $0.00815\Delta^5$이며, 제5차 수렴 행동을 확인한다.
• 전개 항 수 $q=1$일 때 $I_{(00000) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3 i_4 i_5)}$의 오차는 약 $0.00759\Delta^5$ 이하로 경계되며, 고다중도에서 효과적인 근사가 가능함을 보여준다.
• 오차 추정치의 상수 $C$는 $q$에 의존하지 않아, 다양한 전개 절단 수준에서도 안정적인 오차 제어가 가능하다.