[논문 리뷰] Finding Planted Cliques in Sublinear Time

Jay Mardia, Hilal Asi외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 24.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Erdős-Rényi 무작위 그래프에서 식별된 클리크를 복원하기 위한 단순한 하향 시간 알고리즘을 제시하며, 클리크 완성 성질을 활용하여 $k = \Theta(\sqrt{n \log n})$일 때 최소 $\widetilde{O}(n^{3/2})$의 런타임을 달성한다. $k = \omega(\sqrt{n})$일 때 전체 그래프를 검사하지 않아도 복원이 가능하다는 것을 입증하고, 정보 이론적 하한을 사용하여 $k = \Omega(n^{2/3})$일 때 이러한 알고리즘이 최적임을 증명한다.

ABSTRACT

We study the planted clique problem in which a clique of size k is planted in an Erdos-Renyi graph G(n,1/2) and one is interested in recovering this planted clique. It is widely believed that it exhibits a statistical-computational gap when computational efficiency is equated with the existence of polynomial time algorithms. We study this problem under a more fine-grained computational lens and consider the following two questions. 1. Do there exist sublinear time algorithms for recovering the planted clique? 2. What is the smallest running time any algorithm can hope to have? We show that because of a well known clique-completion property, very elementary sublinear time recovery algorithms do indeed exist for clique sizes k = ω(\sqrt{n}). This points to a qualitatively stronger statistical-computational gap. The planted clique recovery problem can be solved without even looking at most of the input above the Θ(\sqrt{n}) threshold and cannot be solved by any efficient algorithm below it. A running time lower bound for the recovery problem follows easily from the results of [RS19], and this implies our recovery algorithms are optimal whenever k = Ω(n^{2/3}). However, for k = o(n^{2/3}) there is a gap between our algorithmic upper bound and the information-theoretic lower bound implied by [RS19]. With some caveats, we show stronger detection lower bounds based on the Planted Clique Conjecture for a natural but restricted class of algorithms. The key idea is to relate very fast sublinear time algorithms for detecting large planted cliques to polynomial time algorithms for detecting small planted cliques.

연구 동기 및 목표

• Erdős-Rényi 그래프 $G(n, \frac{1}{2})$에서 하향 시간 알고리즘이 식별 클리크를 복원할 수 있는지 조사하기.
• 식별 클리크를 복원하기 위해 어떤 알고리즘도 달성할 수 있는 최소 런타임을 결정하기.
• 하향 시간 알고리즘을 고려할 때, 식별 클리크 문제의 통계-계산 갭이 이전에 생각한 것보다 더 큼을 질적으로 확인하기.
• 특히 큰 클리크 크기에 대해, 식별 클리크 추측을 기반으로 하한을 수립하기.

제안 방법

• Algorithm 2를 제안하며, $k = \Theta(\sqrt{n \log n})$일 때 $\widetilde{O}(n^{3/2})$ 시간에 실행되어 높은 확률로 클리크를 복원한다.
• 더 큰 클리크를 위해 $\widetilde{O}\left(\left(\frac{n}{k}\right)^3 + n\right)$ 런타임을 달성하는 확장된 Algorithm 3를 도입한다.
• 클리크 크기 $k = \omega(\sqrt{n})$ 및 $k = o(\sqrt{n \log n})$일 때 $O\left(\frac{n^2}{\frac{k^2}{n} \exp\left(\frac{k^2}{24n}\right)}\right)$ 런타임을 가지는 Algorithm 4를 개발한다.
• 클리크 완성 성질을 핵심 메커니즘으로 사용: 클리크의 부분 집합이 샘플링되면 이웃성 교차를 통해 나머지 부분을 복원할 수 있다.
• 실패 확률를 제어하기 위해 Chernoff 한계와 샘플링 농도 렘마를 적용한다.
• 클리크 완성 단계가 높은 확률로 성공하기 위해 지네-보조 분석과 조건부 확률 한계를 사용한다. 이는 샘플된 집합이 식별 클리크의 충분한 비율을 포함할 경우에 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Erdős-Rényi 그래프 $G(n, \frac{1}{2})$에서 $k = \omega(\sqrt{n})$일 때 하향 시간 알고리즘이 식별 클리크를 복원할 수 있는가?
• RQ2 식별 클리크를 복원하기 위해 어떤 알고리즘도 달성할 수 있는 최소 런타임은 무엇이며, 이 하한은 날카로운가?
• RQ3 식별 클리크 추측을 사용하여, 심지어 클리크가 크더라도 더 강력한 하한을 유도할 수 있는가?
• RQ4 큰 $k$에 대해 식별 클리크 문제에서 탐지와 복원 사이에 미세한 계산 복잡도 분리가 존재하는가?
• RQ5 클리크 완성 성질을 활용하여 효율적인 하향 시간 복원 알고리즘을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• Algorithm 2는 $k = \Theta(\sqrt{n \log n})$일 때 $\widetilde{O}(n^{3/2})$ 시간에 실행되며, 높은 확률로 식별 클리크를 복원한다.
• $k = \Omega(n^{2/3})$일 때, 제안된 알고리즘은 정보 이론적 하한 $\Omega\left(\frac{n^2}{k^2} + n\right)$에 도달하여 최적성임을 증명한다.
• 클리크 크기 $k = \Omega(n^{2/3})$일 때 복원 알고리즘의 런타임은 $\widetilde{\Theta}(n)$로 안정화되며, 이는 $k$를 더 늘려도 복원 속도가 빨라지지 않음을 의미한다.
• 탐지 알고리즘은 $\widetilde{O}\left(\frac{n^3}{k^3}\right)$ 시간에 실행되며, 큰 $k$에 대해 탐지와 복원 사이에 미세한 분리를 보여주며, 복원에서 탐지로의 알려진 감소에도 불구하고 여전히 분리가 존재함을 시사한다.
• Algorithm 4의 실패 확률은 $\frac{1}{3} + o(1)$ 이하로 제한되며, 나머지 오차 확률 $o(1)$은 농도 한계와 지네-보조 분석을 통해 제어된다.
• 분석 결과, $k = \omega(\sqrt{n})$일 때 전체 그래프를 검사하지 않아도 식별 클리크를 복원할 수 있음을 확인하였으며, 이는 통계-계산 갭이 이전보다 더 큼을 질적으로 시사한다.