[논문 리뷰] Finite reducibility of maximal infinite dimensional measurable cocycles of complex hyperbolic lattices

Filippo Sarti, Alessio Savini|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 21.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\Gamma < \mathrm{PU}(n,1)$가 토크션 없는 격자일 때, 측정 가능한 코호몰로지 $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$에 대한 Toledo 불변량을 도입하고, 임의의 최대화된 코호몰로지가 유한 차원 부분군 $\mathrm{PU}(p, np) \subset \mathrm{PU}(p,\infty)$에 값을 갖는 코호몰로지와 코homologous임을 증명한다. 이 결과는 표현 이론의 강성 이론을 측정 가능한 코호몰로지 프레임워크로 확장하여, 복소 하이퍼볼릭 격자에 대한 최대 코호몰로지의 특성을 완성한다.

ABSTRACT

Given $\Gamma < ext{PU}(n,1)$ a torsion-free lattice and $(X,\mu_X)$ a standard Borel $\Gamma$-space, we introduce the notion of Toledo invariant of a measurable cocycle $\sigma:\Gamma imes X ightarrow ext{PU}(p,\infty)$. Since that invariant has bounded absolute value, it makes sense to speak about maximality. We prove that any maximal measurable cocycle is finitely reducible, that is it admits a cohomologous cocycle with image contained in a copy of $ ext{PU}(p,np)$ inside $ ext{PU}(p,\infty)$, which is a finite algebraic subgroup. Even if we do not provide a real rigidity result in this setting, our statement can be seen as the natural adaption of the results for representations due to Duchesne, Lecureux and Pozzetti. We conclude the paper by completing the analysis of maximal cocycles of complex hyperbolic lattices started in \cite{sarti:savini} with a characterization of their algebraic hull.

연구 동기 및 목표

• 측정 가능한 코호몰로지 $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$에 대한 Toledo 불변량을 정의한다. 여기서 $\Gamma < \mathrm{PU}(n,1)$는 토크션 없는 격자이다.
• 최대화된 코호몰로지(최대 Toledo 불변량의 의미에서)는 유한 차원 부분군 $\mathrm{PU}(p, np)$에 값을 갖는 코호몰로지와 코homologous임을 증명한다.
• 복소 하이퍼볼릭 격자 맥락에서 표현 이론의 강성 결과를 측정 가능한 코호몰로지 프레임워크로 확장한다.
• 이전 연구 \cite{sarti:savini}를 바탕으로, 최대 측정 가능한 코호몰로지의 대칭군을 특성화하여 분류를 완성한다.

제안 방법

• 유계 코hom로지 기법을 사용하여 측정 가능한 코호몰로지 $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$에 대한 Toledo 불변량을 정의한다.
• Toledo 불변량의 유계성을 확립하여 최대성의 개념을 가능하게 한다.
• $\mathrm{PU}(p,\infty)$가 $\mathrm{PU}(p,n)$의 귀납적 극한으로서의 구조를 이용하여 코호몰로지의 상을 분석한다.
• 코호몰로지 기법을 적용하여 최대화된 코호몰로지가 $\mathrm{PU}(p, np)$에 값을 갖는 코호몰로지와 코homologous임을 보인다.
• 복소 하이퍼볼릭 격자의 기하학과 Shilov 경계에서의 작용을 활용하여 코호몰로지 행동을 제어한다.
• 코호몰로지의 대칭 폐쇄를 분석하여 최대 코호몰로지의 대칭군을 완전히 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측정 가능한 코호몰로지 $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$에 대해, $\Gamma < \mathrm{PU}(n,1)$일 때 Toledo 불변량을 의미 있게 정의할 수 있는가?
• RQ2 최대 측정 가능한 코호몰로지(최대 Toledo 불변량의 의미에서)는 항상 유한 차원 부분군 $\mathrm{PU}(p, np)$에 값을 갖는 코호몰로지와 코homologous인가?
• RQ3 최대 측정 가능한 코호몰로지의 대칭군은 대상군 $\mathrm{PU}(p,\infty)$의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 유한 차원 환원 결과는 복소 하이퍼볼릭 격자 맥락에서 표현 이론의 강성 정리와 어느 정도 유사한가?

주요 결과

• 측정 가능한 코호몰로지 $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$에 대한 Toledo 불변량은 잘 정의되어 있으며 절댓값이 유계이므로 최대성의 개념을 도입할 수 있다.
• 모든 최대 측정 가능한 코호몰로지는 $\mathrm{PU}(p, np) \subset \mathrm{PU}(p,\infty)$에 값을 갖는 코호몰로지와 코homologous이며, 이는 유한 차원 환원을 증명한다.
• 유한 차원 환원 결과는 표현 이론의 강성 아이디어를 측정 가능한 코호몰로지 프레임워크로 일반화하며, 완전한 강성 없이도 성립한다.
• 최대 측정 가능한 코호몰로지의 대칭군은 $\mathrm{PU}(p, np)$에 포함됨을 완전히 특성화하여, \cite{sarti:savini}에서 시작된 분석을 완성한다.
• 이 결과는 Duchesne-Lecureux-Pozzetti의 표현에 대한 강성 결과를 측정 가능한 코호몰로지 맥락에 자연스럽게 일반화한 것이다.
• $\mathrm{PU}(p,\infty)$가 $\mathrm{PU}(p,n)$의 귀납적 극한으로서의 구조는 유한 차원 환원을 증명하는 데 핵심적이다.