[논문 리뷰] First time to exit of a continuous Itô process: general moment estimates and L1-convergence rate for discrete time approximations

Bruno Bouchard, Stefan Geiß외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 연속 이토 과정의 첫 번째 이탈 시간에 대한 일반적인 모멘트 추정을 경계까지의 거리에 기반하여 수립한다. 이는 미세한 조건 하에, 이토 과정의 오일러 스킴에서의 이산 이탈 시간이 메쉬 크기에 대해 최적의 1/2 수준의 L¹ 노름에서 진짜 이탈 시간으로 수렴함을 증명한다. 이는 유계가 아닌 시간 영역에 대해서도 성립하며, 분산 계수와 경계 행동에 대한 미약한 정규성 조건을 만족할 경우에 한해 성립한다.

ABSTRACT

We establish general moment estimates for the discrete and continuous exit times of a general Itô process in terms of the distance to the boundary. These estimates serve as intermediate steps to obtain strong convergence results for the approximation of a continuous exit time by a discrete counterpart, computed on a grid. In particular, we prove that the discrete exit time of the Euler scheme of a diffusion converges in the L1 norm with an order 1/2 with respect to the mesh size.

연구 동기 및 목표

• 연속 이토 과정의 첫 번째 이탈 시간에 대한 일반적인 모멘트 추정을 그 경계까지의 거리에 따라 유도하기.
• 오일러 스킴을 사용할 경우 이탈 시간의 이산 시간 근사에 대한 강한 수렴 속도를 확립하기.
• 이산 이탈 시간의 L¹ 수렴 속도에 관한 열린 문제를 해결하기, 특히 ε-편향 없이 속도 1/2가 달성 가능한지 여부를 밝히기.
• 기존 연구가 유한 시간 영역에 국한된 것과는 달리, 비유계 시간 영역으로 수렴 결과를 확장하기.
• 이전 결과를 확산 과정을 초월해 일반적인 이토 과정으로 일반화하는 비마르코프 프레임워크를 제공하기.

제안 방법

• 미약한 비특성 경계 조건과 균일한 조건부 이탈 시간 추정을 사용하여 연속 및 이산 이탈 시간에 대한 일반적인 모멘트 경계를 도출한다.
• 일반적인 이토 과정에 적용 가능한 비마르코프 설정에서의 추상적 수렴 정리(정리 3.1)를 도입한다.
• 시간 변환 과정을 사용하여 연속 확산과 그 오일러 근사 간의 커플링을 적용하여 이탈 시간 차이를 제어한다.
• 정지 시간 분해와 진짜 과정과 오일러 스킴 간의 정교한 경로 기반 비교를 활용하며, 오일러 오차의 모멘트 추정을 활용한다.
• 퇴적 시간의 균일한 尾 추정(가정 (L))을 사용하여 큰 편차를 제어하기 위해 감소하는 함수 φ(T)를 포함한다.
• 이산 및 연속 이탈 시간 간의 L¹ 차이를 경계하는 확률적 커플링 방법을 통해 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오일러 스킴를 사용한 확산 과정의 이산 이탈 시간 근사에 대해 최적의 L¹ 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 ε-편향 없이, 비유계 시간 영역에서도 L¹에서 수렴 속도 1/2를 달성할 수 있는가?
• RQ3 일반적인 이토 과정 설정에서 이탈 시간의 모멘트 추정은 경계까지의 거리에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 PDE 도구에 의존하지 않고 비마르코프 프레임워크에서 강한 수렴 결과를 확립할 수 있는가?
• RQ5 분산 계수와 도메인에 어떤 조건이 성립해야 이산 이탈 시간이 L¹에서 진짜 이탈 시간으로 수렴하는가?

주요 결과

• 오일러 스킴의 이산 이탈 시간은 메쉬 크기에 대해 최적의 1/2 수준의 L¹ 노름에서 진짜 이탈 시간으로 수렴한다.
• 이 수렴 속도는 비유계 시간 영역에서도 성립하며, 문헌에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• 정지된 과정 (X_{t heta})는 L²에서 1/4의 속도로 수렴하며, 이는 L¹ 수렴 속도와 일관된다.
• 이 논문은 연속 및 이산 이탈 시간 모두에 대해 경계까지의 거리에 기반한 일반적인 이탈 시간 모멘트 추정을 제공한다.
• 수렴 결과는 미약한 조건 하에 성립한다: 비특성 경계 조건과 이탈 시간에 대한 균일한 尾 추정(가정 (L)).
• 증명 기법은 PDE 기반 접근을 피하고, 표준 확산을 초월한 일반적인 이토 과정에 적용 가능하여 이전 결과를 일반화한다.