[논문 리뷰] General relativity from $p$-adic strings

An Huang, Bogdan A. Stoica외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 07.

advanced mathematical theories인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 곡률이 있는 타겟 시공간에서 p-진 끈 작용을 제안하며, 양자 p-진 끈의 월드시트 스케일링 대칭이 진공 아인슈타인 방정식을 유도함을 보여주고, 유클리드 경우와 유사한 결과를 도출한다. 또한 PGL(2, Qp)의 분비되지 않은 주요 시리즈 표현의 구형 벡터를 평면파 모드로 식별하고, 고유한 정규화 특성으로 인해 루프 도형이 단순화됨을 보여준다. 주요 결과로는 아델릭 끈 스펙트럼과 리만 제타 함수의 비자명한 근 사이의 연결이다.

ABSTRACT

For an arbitrary prime number $p$, we propose an action for bosonic $p$-adic strings in curved target spacetime, and show that the vacuum Einstein equations of the target are a consequence of worldsheet scaling symmetry of the quantum $p$-adic strings, similar to the ordinary bosonic strings case. It turns out that certain $p$-adic automorphic forms are the plane wave modes of the bosonic fields on $p$-adic strings, and that the regularized normalization of these modes on the $p$-adic worldsheet presents peculiar features which reduce part of the computations to familiar setups in quantum field theory, while also exhibiting some new features that make loop diagrams much simpler. Assuming a certain product relation, we also observe that the adelic spectrum of the bosonic string corresponds to the nontrivial zeros of the Riemann Zeta function.

연구 동기 및 목표

• 타겟 시공간에서의 진공 아인슈타인 방정식이 양자 p-진 끈의 월드시트 스케일링 대칭으로부터 유도됨을 확립하기.
• 거리의 제곱 형태를 사용하여 Zabrodin의 p-진 끈 작용을 곡률이 있는 타겟 시공간으로 일반화하기.
• PGL(2, Qp)의 분비되지 않은 주요 시리즈 표현의 구형 벡터가 p-진 월드시트 상의 평면파 모드로 어떻게 작용하는지 분석하기.
• 고유한 정규화 및 정규화 기법으로 인해 p-진 끈 이론에서 루프 도형이 단순화됨을 보여주기.
• 곱셈 관계 가정 하에 아델릭 끈 스펙트럼과 리만 제타 함수의 비자명한 근 사이의 연결을 탐구하기.

제안 방법

• Zabrodin 작용을 곡률이 있는 타겟 시공간으로 일반화한 새로운 p-진 끈 작용 S = Σ⟨ij⟩∈E(Tp) d²(Xi,Xj)/a²⟨ij⟩ 제안.
• 브라하트-티츠 트리 Tp 상의 운동량 고유함수를 PGL(2, Qp)의 분비되지 않은 주요 시리즈 표현의 구형 벡터로 식별.
• 트리 상의 기하학적 합의 해석적 정규화를 사용하며, ∑1 = ζ(0) = −1/2와 같은 발산 급수의 제타 함수 정규화 포함.
• 월드시트 스케일링 대칭을 적용하여 진공 아인슈타인 방정식을 강제하는 일차 루프 조건 유도.
• 모드의 정확한 정규화를 고려한 p-진 월드시트 경로 적분을 사용하여 트리 레벨 및 일차 루프 두 점 함수 계산.
• 정의 8의 정규화를 통해 실수 선 기여가 두 점 함수에서 사라짐을 보여주어 p-진 지배성과의 일관성 확보.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곡률이 있는 타겟 시공간에서의 양자 p-진 끈의 월드시트 스케일링 대칭이 진공 아인슈타인 방정식을 유도하는가?
• RQ2 PGL(2, Qp)의 분비되지 않은 주요 시리즈 표현의 구형 벡터가 p-진 월드시트 상의 평면파 모드로 어떻게 작용하는가?
• RQ3 정규화는 p-진 끈 모드의 정규화에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 어떻게 루프 계산을 단순화하는가?
• RQ4 곱셈 관계 가정 하에 보손 끈의 아델릭 스펙트럼은 리만 제타 함수의 비자명한 근과 관련이 있는가?
• RQ5 제안된 정규화 체계 하에서 두 점 함수 경로 적분에서 실수 선의 기여가 왜 사라지는가?

주요 결과

• 타겟 시공간에서의 진공 아인슈타인 방정식이 양자 p-진 끈의 월드시트 스케일링 대칭으로부터 도출되며, 유클리드 경우와 유사하다.
• PGL(2, Qp)의 분비되지 않은 주요 시리즈 표현의 구형 벡터는 p-진 끈 장 이론의 평면파 모드로 식별된다.
• p-진 월드시트 상의 모드 정규화 정규화로 인해 루프 도형이 단순화되어 표준 양자장론(QFT)보다 복잡성이 감소한다.
• 스케일링 대칭 조건 하에서 두 점 함수의 일차 루프 보정이 0이 되며, 이는 메트릭의 실행이 없고 따라서 아인슈타인 방정식이 성립함을 의미한다.
• 곱셈 관계 가정 하에 보손 끈의 아델릭 스펙트럼은 리만 제타 함수의 비자명한 근과 대응된다.
• 제안된 정규화에 따라 두 점 함수 경로 적분에서 실수 선의 기여가 상쇄되어 사라지며, 이는 p-진 지배성을 보장한다.