[논문 리뷰] Hilfer-Katugampola fractional derivative

D. S. Oliveira, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 15.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 13인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 리만-리오빌, 캐프토, 하다르드, 힐러 타입과 같은 주요 분수계 도함수들을 통합하고 상호 연결하는 데 중점을 두는 힐러-카투감폴로 분수도함수를 제안한다. 비선형 분수계 초기값 문제와 볼테라 적분방정식 사이의 등가성을 확립함으로써, 고정점 이론과 반복 근사법을 사용하여 해의 존재성과 유일성을 증명하였으며, 일반화된 미팅-레플러 함수를 통해 해를 해석적으로 표현하였다.

ABSTRACT

We propose a new fractional derivative, the Hilfer-Katugampola fractional derivative. Motivated by the Hilfer derivative this formulation interpolates the well-known fractional derivatives of Hilfer, Hilfer-Hadamard, Riemann-Liouville, Hadamard, Caputo, Caputo-Hadamard, Liouville, Weyl, generalized and Caputo-type. As an application, we consider a nonlinear fractional differential equation with an initial condition using this new formulation. We show that this equation is equivalent to a Volterra integral equation and demonstrate the existence and uniqueness of solution to the nonlinear initial value problem.

연구 동기 및 목표

• 리만-리오빌, 캐프토, 하다르드, 힐러 및 그 변종과 같은 기존의 분수도함수들을 일반화하고 상호 간섭시키는 통합된 분수도함수를 개발하는 것.
• 새로운 도함수 정의에 따라 비선형 분수계 미분방정식과 초기 조건이 볼테라 적분방정식과 등가가 되는지를 확립하는 것.
• 고정점 이론을 사용하여 적절한 함수 공간에서 초기값 문제의 해가 존재하고 유일함을 증명하는 것.
• 반복 근사법을 활용하여 특정 분수계 미분방정식의 해석적 해를 유도하는 것.
• 기존의 특수한 경우들(예: 리만-리오빌, 캐프토, 하다르드)이 새로운 도함수의 특별한 극한으로 복원됨을 보이는 것.

제안 방법

• 카투감폴로 분수도함수에 추가적인 상호간섭 파라미터 β를 도입하여 힐러와 힐러-하다르드 도함수의 특성을 통합한 힐러-카투감폴로 분수도함수를 정의하는 것.
• 매개수 ρ를 가진 일반화된 분수적 적분 연산자 $ {}^{ ho} ext{J}_{a^{+}}^{ ho} $를 사용하여 도함수를 정의하고 그 성질을 분석하는 것.
• 적분 표현과 반복 대입을 통해 비선형 분수계 미분방정식과 볼테라 적분방정식 사이의 등가성을 확립하는 것.
• 가중치 공간 $ C_{1- ho, ho}^{eta}[a,b] $ 에서 반복적 고정점 정리(바나흐 고정점 정리)를 적용하여 해의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 반복 근사법을 사용하여 해를 반복적으로 구성하고, 일반화된 미팅-레플러 함수를 포함하는 급수 표현으로 이어지는 것.
• 최종 해를 일반화된 미팅-레플러 함수 $ E_{ ho,1+rac{eta}{ ho},1+rac{eta-1}{ ho}} $ 로 표현하며, 방정식의 차수와 초기 조건에서 유도된 매개수를 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만-리오빌, 캐프토, 하다르드, 힐러 및 기타 고전적 분수도함수들을 통합하고 상호 간섭시키는 단일 분수도함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 힐러-카투감폴로 분수도함수를 포함하는 비선형 초기값 문제는 볼테라 적분방정식과 등가적인가?
• RQ3 정의된 함수 공간에서 초기값 문제는 고유한 해를 갖는가?
• RQ4 새로운 도함수를 사용하여 특정 분수계 미분방정식의 해석적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 기존의 분수도함수들(예: 리만-리오빌, 캐프토, 하다르드)이 힐러-카투감폴로 도함수의 특수한 극한으로 나타나는가?

주요 결과

• 힐러-카투감폴로 분수도함수는 힐러 도함수와 카투감폴로 도함수를 일반화하며, 리만-리오빌, 캐프토, 하다르드, 힐러-하다르드 및 기타 분수도함수들을 특수한 경우로 포함한다.
• 초기 조건이 있는 비선형 분수계 미분방정식은 볼테라 적분방정식과 등가이며, 이는 적분방정식 기법을 이용한 분석이 가능함을 의미한다.
• 공간 $ C_{1- ho, ho}^{eta}[a,b] $ 에서 초기값 문제의 해는 고유하며, 바나흐 고정점 정리를 통해 증명되었다.
• 반복 근사법을 통해 해가 반복적으로 구성되며, 일반화된 미팅-레플러 함수 $ E_{ ho,1+rac{eta}{ ho},1+rac{eta-1}{ ho}} $ 를 포함하는 닫힌 형태의 표현으로 수렴한다.
• 해의 표현식은 기존 결과를 복원한다: ρ→1, β=0일 때 리만-리오빌 경우로 감소하며, ρ→1, β=1일 때는 캐프토 경우와 일치한다; ρ→0⁺, β=0일 때는 하다르드 경우에 해당한다.
• 반복 근사법은 수렴하는 급수 해를 도출하며, 계수는 감마 함수의 비율을 포함하여 방정식의 해석적 가용성을 확인한다.