[논문 리뷰] Hodge-Iwasawa Theory I

Xin T. Tong|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상대적 $p$-진 호지 이론과 비가환 Iwasawa 이론을 동시에 일반화한 Hodge-Iwasawa 이론을 소개한다. 이는 $p$-진 표현, 에테일 국소계수, Iwasawa 코hom로지의 가족을 연구하기 위한 통합 프레임워크를 제공한다. 인도-프레셰트 대수와 스킴적 상대 Fargues-Fontaine 곡선 위에서 변형된 주기 링과 층을 구축하며, 코호몰로지 함자로 인해 $K$-이론 위에서 영-호모토픽 맵이 유도되는 Waldhausen $K$-이론 프레임워크를 수립한다. 이는 $\epsilon$-이sov미터 추측에 대한 새로운 시각을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we are going to establish a simultaneous generalization of the relative Iwasawa theory proposed by Kedlaya-Pottharst and the relative $p$-adic Hodge theory after Kedlaya-Liu. We call this Hodge-Iwasawa theory in the sense that one could apply the theory to study noncommutative Iwasawa cohomology and noncommutative Iwasawa theories in families and meanwhile one could apply the theory to study the deformation theory of étale local systems or families of representations of fundamental groups or the equivariant constructible $p$-adic sheaves, with more sophisticated point of view coming from Kato, Fukaya-Kato. We follow closely the approach of Kedlaya-Liu to study the corresponding modules and sheaves over the corresponding deformed version of the period rings and period sheaves.

연구 동기 및 목표

• 상대적 $p$-진 호지 이론과 비가환 Iwasawa 이론을 통합적인 프레임워크에서 동시에 일반화하기 위해.
• 변형된 주기 링을 통해 $p$-진 표현과 에테일 국소계수의 가족으로의 연구를 일반화하기 위해.
• Waldhausen 카테고리들을 이용해 비가환적이고 $T$-가환적인 $p$-진 층의 코호몰로지적이고 $K$-이론적 프레임워크를 개발하기 위해.
• Hodge-Iwasawa 모듈로를 통해 Tamagawa-Iwasawa 이론을 고차 호모토픽적이고 기하학적 설정으로 확장하기 위해.
• 상대적 $p$-진 설정에서 $\epsilon$-이sov미터 추측의 기하학적 및 모티브적 해석을 제공하기 위해.

제안 방법

• 인도-프레셰트 대수와 변형된 스킴적 상대 Fargues-Fontaine 곡선 위에서 Hodge-Iwasawa 층과 벡터 번들의 구축.
• Kedlaya-Liu의 접근을 변형된 주기 링과 층에 적용하여 Iwasawa 맥락에서 $\widetilde{\Pi}_{L,A}$-모듈의 일반화.
• 프레셰트-스타인 및 강체 해석적 변형을 통해 상대 Fargues-Fontaine 곡선을 이용해 $p$-진 표현의 가족을 모델링.
• 완전 복합체의 카테고리에서 $T$-모듈로의 완전 $T$-모듈로의 완전 복합체에 대한 Waldhausen 정확 함자 $R\Gamma_\emptyset(X_\sharp, \cdot)$ 정의.
• [KL]의 유한성 및 코호몰로지 차원 결과를 적용하여 유도된 $K$-이론 맵이 영-호모토픽임을 보임.
• [FK, Proposition 2.1.3]의 방법을 따라 잼슨 근을 갖는 몫과 준단순 환원을 통해 유한체로의 환원을 수행함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대적 $p$-진 호지 이론과 비가환 Iwasawa 이론을 일관된 프레임워크에서 동시에 일반화할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 변형된 주기 링과 층은 어떻게 $p$-진 표현과 에테일 국소계수의 가족을 모델링하는 데 기여하는가?
• RQ3 Waldhausen $K$-이론과 $\epsilon$-이sov미터 추측은 $p$-진 설정에서 구조적 층에 대해 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 코호몰로지 함자 $R\Gamma_\emptyset(X_\sharp, \cdot)$는 $p$-진 설정에서 $K$-이론 위에서 영-호모토픽 맵을 유도할 수 있는가?
• RQ5 Hodge-Iwasawa 모듈로에 대해 Tamagawa-Iwasawa 이론의 고차 호모토픽적이고 기하학적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 코호몰로지 함자 $R\Gamma_\emptyset(X_\sharp, \cdot)$로 유도된 Waldhausen $K$-이론 맵은 $\mathrm{Spa}(\mathbb{Q}_p, \mathfrak{o}_{\mathbb{Q}_p})$ 위에서 영-호모토픽이다.
• 영-호모토픽 결과는 계수 환 $T$를 갖는 변형된 강체 공간 $X_\sharp$ 위의 완전 복합체의 카테고리인 $\mathbb{D}_{\mathrm{perf}}(X_\sharp, T)$에 대해 성립한다.
• 증명은 $\mathbb{Q}_p^{\mathrm{ur}}$ 위에서 $p$-진 설정에서 [KL, 8.1, 10.1]의 유한성 및 코호몰로지 차원 정리에 기반한다.
• 유한체로의 환원은 유한 몫 $T/I$의 잼슨 근을 몫으로 나누어 준다. 이는 준단순 및 유한체 사례의 활용을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 [FK], [F], [BB], [LZ], [Nak3]의 결과를 확장하여 $\epsilon$-이sov미터 추측을 $p$-진 설정으로 일반화한다.
• 이론은 Hodge-Iwasawa 모듈로를 통해 비가환 Iwasawa 코호몰로지와 구조적 $p$-진 층에 대한 새로운 기하학적 및 모티브적 시각을 제공한다.