[논문 리뷰] Impartial avoidance games for generating finite groups

Bret J. Benesh, Dana C. Ernst외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 23.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한군에서의 무임의 회피 게임의 담비수를 결정하는 기준을 개발한다. 플레이어들은 생성 집합을 만들지 않도록 번갈아가며 군 원소를 선택한다. 최대부분군과 그들의 기수를 분석함으로써, 해로운, 비어있는, 대칭군에 대해 게임의 담비수를 분류한다. 그 결과, 짝수 순서의 최대부분군이 군을 덮는지 여부에 따라 담비수가 달라진다.

ABSTRACT

We study an impartial avoidance game introduced by Anderson and Harary. The game is played by two players who alternately select previously unselected elements of a finite group. The first player who cannot select an element without making the set of jointly-selected elements into a generating set for the group loses the game. We develop criteria on the maximal subgroups that determine the nim-numbers of these games and use our criteria to study our game for several families of groups, including nilpotent, sporadic, and symmetric groups.

연구 동기 및 목표

• 회피 게임의 결과 기준을 Barnes의 기준으로부터 확장하여, 단지 게임 결과뿐만 아니라 담비수까지 결정하고자 한다.
• 무한군에서의 담비수와 유한군의 최대부분군의 기수 사이의 관계를 설정하고자 한다.
• 다양한 군 계열에서 Do Not Generate(DNG) 게임의 담비수를 실용적으로 분류하는 방법을 제공하고자 한다.
• DNG 게임의 담비수가 프라티니 부분군에 대한 몫을 취해도 변하지 않음을 증명함으로써 계산의 단순화를 가능하게 하고자 한다.
• 부분군 격자와 구조 다이어그램 분석을 통해 게임의 구조적 불변성을 탐색하고자 한다.

제안 방법

• 담비수 계산을 위한 기준을 도출하기 위해 Barnes의 조건을 최대부분군을 이용해 재구성한다.
• 최소배제함수(mex)를 사용하여 게임 위치에서 담비수를 재귀적으로 계산한다.
• 대응정리에 의해 정규부분군에 대한 몫에서의 최대부분군을 원래 군의 최대부분군과 연결한다.
• 프라티니 부분군이 모든 최대부분군에 포함된다는 사실을 활용하여, 게임의 담비수가 몫을 취한 후에도 동일함을 보여준다.
• 부분군의 교차를 기반으로 게임 위치와 그 관계를 시각화하기 위해 구조 다이어그램과 다이어그램을 구성한다.
• GAP과 같은 계산 도구를 사용하여 SL(3,7)과 PSL(3,7)과 같은 특정 군의 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한군의 최대부분군의 구조만으로도 Do Not Generate 게임의 담비수를 결정할 수 있는가?
• RQ2 프라티니 부분군에 대한 몫을 취했을 때 담비수의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 대칭군, 스포라딕 군, 노일포텐트 군에 대해 회피 게임의 담비수는 얼마인가?
• RQ4 N ≤ Φ(G)일 때, G에서의 DNG 게임의 구조 다이어그램이 G/N에서의 것과 동형인가?
• RQ5 최소배제함수(mex)의 재귀 계산 없이, 최대부분군의 성질만으로도 담비수를 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 유한군 G에서의 DNG 게임의 담비수는 *0이 되려면 짝수 순서의 최대부분군의 집합이 G를 덮는 것과 필요충분조건이다.
• Barnes의 조건을 만족하는 비순환군의 경우, 담비수는 최대부분군의 기수에 의해 결정되며, 짝수 순서의 최대부분군이 G를 덮을 경우 *0이 된다.
• 노일포텐트 군에서의 DNG 게임의 담비수는 그 프라티니 몫과 동일하므로, 계산을 단순화할 수 있다.
• SL(3,7)에서의 회피 게임의 담비수는 *3이며, 이는 프라티니 몫인 PSL(3,7)에서 짝수 순서의 최대부분군 69,008개와 홀수 순서의 최대부분군 32,928개가 군을 덮지 않기 때문이다.
• DNG 게임의 구조 다이어그램은 프라티니 부분군에 대한 몫을 취해도 유지되며, 이는 게임의 동치성을 보존한다.
• 최대부분군의 기수와 덮음 조건을 바탕으로, 코로나리 6.4에 의해 담비수 계산을 위한 체크리스트가 제공된다.