[논문 리뷰] Improved Deterministic Distributed Construction of Spanners

Ofer Grossman, Merav Parter|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 03.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ${\mathsf{CONGEST}}$ 모델에서 $O(2^k \cdot n^{1/2-1/k})$ 라운드(짝수 $k$에 대해) 및 $O(2^k \cdot n^{1/2-1/(2k)})$ 라운드(홀수 $k$에 대해) 동안 $(2k-1)$-스패너를 결정적으로 구성하는 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 오직 $O(\log n)$ 크기의 메시지만을 사용하며, 슈퍼클러스터링과 비균형 이분 그래프에 대한 흐린 스패너 기법을 도입함으로써 최적 크기 $O(k \cdot n^{1+1/k})$의 간선을 달성한다.

ABSTRACT

Graph spanners are fundamental graph structures with a wide range of applications in distributed networks. We consider a standard synchronous message passing model where in each round $O(\log n)$ bits can be transmitted over every edge (the CONGEST model). The state of the art of deterministic distributed spanner constructions suffers from large messages. The only exception is the work of Derbel et al. '10, which computes an optimal-sized $(2k-1)$-spanner but uses $O(n^{1-1/k})$ rounds. In this paper, we significantly improve this bound. We present a deterministic distributed algorithm that given an unweighted $n$-vertex graph $G = (V, E)$ and a parameter $k > 2$, constructs a $(2k-1)$-spanner with $O(k \cdot n^{1+1/k})$ edges within $O(2^{k} \cdot n^{1/2 - 1/k})$ rounds for every even $k$. For odd $k$, the number of rounds is $O(2^{k} \cdot n^{1/2 - 1/(2k)})$. For the weighted case, we provide the first deterministic construction of a $3$-spanner with $O(n^{3/2})$ edges that uses $O(\log n)$-size messages and $\widetilde{O}(1)$ rounds. If the nodes have IDs in $[1, Θ(n)]$, then the algorithm works in only $2$ rounds!

연구 동기 및 목표

• 작은 메시지 크기로 ${\mathsf{CONGEST}}$ 모델에서 흩어진 스패너를 결정적으로 구성하는 데 오랫동안 남아있던 과제를 해결하기 위해.
• 랜덤화된 스패너 구성과 결정적 스패너 구성 간 격차를 좁히기 위해, 큰 메시지에 의존하지 않고 근사 최적의 라운드 복잡도를 달성하기 위해.
• 초기 $3$-스패너를 $O(n^{3/2})$ 간선으로 $\widetilde{O}(1)$ 라운드 내에 $O(\log n)$ 크기의 메시지만을 사용하여 첫 번째로 결정적으로 구성하기 위해.
• 특히 큰 $k$에 대해 이전 작업을 초월하여 결정적 $(2k-1)$-스패너 구성의 라운드 복잡도를 향상시키기 위해.
• 노드 ID가 $[1, \Theta(n)]$ 범위에 있을 경우, 상수 지름을 가진 그래프에서 오직 $O(1)$ 라운드 내에 효율적인 결정적 스패너 구성이 가능하도록 하기 위해.

제안 방법

• 기존 Baswana-Sen 클러스터를 슈퍼클러스터로 묶는 새로운 슈퍼클러스터링 기법을 도입하여 통신 오버헤드를 감소시킨다.
• 스패너 구성 중 간선 추가 수를 제한하기 위해 비균형 이분 그래프에 대한 흐린 스패너 구성 기법을 핵심 서브루틴으로 사용한다.
• 각 단계에서 클러스터 수를 $\sqrt{n}$ 배로 줄이는 재귀적 클러스터링 전략을 적용하여 효율적인 병렬 처리를 가능하게 한다.
• 깊이가 제한되고 간선가로 분리된 구성요소를 갖는 부분그래프를 사용하여 0-레벨 슈퍼클러스터링을 $O(2^k \cdot n^{1/2-1/k})$ 라운드 내에 구성한다.
• 저확산 슈퍼클러스터에는 스패너 구성 기법을 적용하고 고확산 슈퍼클러스터에는 BFS 트리를 적용하여 스트레치 보장을 유지한다.
• 각 정점이 남아있는 각 클러스터의 한 정점과 간선을 추가하는 종료 단계를 적용하여 스패너를 $O(1)$ 라운드 내에 완성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Can we construct a deterministic $(2k-1)$-spanner in the ${\mathsf{CONGEST}}$ model with $O(\log n)$-size messages and near-optimal round complexity?
• RQ2 Is it possible to achieve optimal size $O(k \cdot n^{1+1/k})$ for $(2k-1)$-spanners while keeping message sizes small and round complexity sublinear?
• RQ3 Can we design a deterministic algorithm that constructs a $3$-spanner with $O(n^{3/2})$ edges in $\widetilde{O}(1)$ rounds using only $O(\log n)$-size messages?
• RQ4 How can we efficiently simulate the Baswana-Sen algorithm in a deterministic distributed setting without large messages?
• RQ5 What is the minimal round complexity for deterministic construction of spanners in graphs of constant diameter with small message sizes?

주요 결과

• 알고리즘은 짝수 $k$에 대해 $O(2^k \cdot n^{1/2-1/k})$ 라운드 내에 $O(k \cdot n^{1+1/k})$ 간선을 갖는 $(2k-1)$-스패너를 구성한다.
• 홀수 $k$에 대해선 $O(2^k \cdot n^{1/2-1/(2k)})$ 라운드 복잡도를 달성하며, 이는 결정적 환경에서 홀수 $k$에 대해 처음으로 제시된 복잡도 상한이다.
• 초기 $3$-스패너를 $O(n^{3/2})$ 간선으로 $\widetilde{O}(1)$ 라운드 내에 $O(\log n)$ 크기의 메시지만을 사용하여 결정적으로 구성한다.
• 노드 ID가 $[1, \Theta(n)]$ 범위에 있을 경우, 알고리즘은 단지 $2$ 라운드 내에 $3$-스패너를 구성한다.
• 알고리즘은 작은 메시지 크기 유지와 함께 최적의 스트레치-크기 트레이드오프를 달성하며, 결정적 분산 스패너 구성 분야에서 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.
• 일반적인 그래프의 지름이 ${\rm diam}(G)$일 경우에도, 복잡도 상한은 거의 동일하게 유지되며 라운드 복잡도는 소량 증가할 뿐이다.