[논문 리뷰] Improved robustness of quantum supremacy for random circuit sampling

Yasuhiro Kondo, Ryuhei Mori외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 03.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다항계층이 붕괴하지 않는다고 가정할 때, 랜덤 양자 회로의 출력 확률을 exp(−Ω(m log m)) 이내의 덧셈 오차로 근사하는 것이 BPP^NP 감소에 의해 #P-난이도임을 증명함으로써, 무작위 회로 샘플링에서 양자 우월성에 대한 더 강력한 복잡도론적 증거를 확립한다. 이 결과는 일정 깊이 및 로그 깊이를 포함한 다양한 회로 깊이에서 유효하며, 점점 더 날카운 오차 범위를 제공한다.

ABSTRACT

Motivated by the recent experimental demonstrations of quantum supremacy, proving the hardness of the output of random quantum circuits is an imperative near term goal. We prove under the complexity theoretical assumption of the non-collapse of the polynomial hierarchy that approximating the output probabilities of random quantum circuits to within $\exp(-\Omega(m\log m))$ additive error is hard for any classical computer, where $m$ is the number of gates in the quantum computation. More precisely, we show that the above problem is $\#\mathsf{P}$-hard under $\mathsf{BPP}^{\mathsf{NP}}$ reduction. In the recent experiments, the quantum circuit has $n$-qubits and the architecture is a two-dimensional grid of size $\sqrt{n} imes\sqrt{n}$. Indeed for constant depth circuits approximating the output probabilities to within $2^{-\Omega(n\log{n})}$ is hard. For circuits of depth $\log{n}$ or $\sqrt{n}$ for which the anti-concentration property holds, approximating the output probabilities to within $2^{-\Omega(n\log^2{n})}$ and $2^{-\Omega(n^{3/2}\log n)}$ is hard respectively. We made an effort to find the best proofs and proved these results from first principles, which do not use the standard techniques such as the Berlekamp--Welch algorithm, the usual Paturi's lemma, and Rakhmanov's result.

연구 동기 및 목표

• 기존 결과를 초월하여 무작위 회로 샘플링에서 양자 우월성에 대한 더 강력한 복잡도론적 증거를 확립하기 위해.
• 랜덤 양자 회로의 출력 확률을 특정 덧셈 오차 내에서 근사하는 것이 고전 컴퓨터에게 어려운지 증명하기 위해.
• 일정 깊이 및 로그 깊이를 포함한 다양한 회로 깊이에 대해 근사 오차의 날카운 경계를 유도하기 위해.
• Berlekamp–Welch, Paturi의 보조정리, Rakhmanov의 결과와 같은 표준 기법에 의존하지 않고 이러한 결과를 도출하기 위해.
• 양자 우월성 시연의 이론적 기반을 강화하기 위해 원천에서부터 증명을 제공하기 위해.

제안 방법

• 다항계층의 붕괴가 일어나지 않는다는 가정 하에 복잡도론적 프레임워크를 기반으로 하드니스 결과를 확립한다.
• BPP^NP 감소를 사용하여, 출력 확률을 exp(−Ω(m log m)) 이내의 덧셈 오차로 근사하는 것이 #P-난이도임을 보인다.
• n 큐비트를 가진 2D 격자 아키텍처에서 다양한 회로 깊이를 가진 랜덤 양자 회로를 분석한다.
• 일정 깊이, log n 깊이, √n 깊이의 다양한 깊이 영역에 대해 반대집중 성질을 사용하여 오차 경계를 도출한다.
• Berlekamp–Welch나 Paturi의 보조정리와 같은 고전적 도구에 의존하지 않고 원천에서부터 증명을 구성한다.
• 반대집중 결과를 적용하여 출력 확률이 너무 치우치지 않도록 보장함으로써, 하드니스 감소를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 양자 회로의 출력 확률을 근사하는 데 있어서 #P-난이도가 되는 최소 덧셈 오차는 무엇인가?
• RQ2 특히 일정 깊이 및 로그 깊이 회로에서 근사의 난이도는 어떻게 회로 깊이에 따라 변화하는가?
• RQ3 Berlekamp–Welch와 같은 표준 대수 기법에 의존하지 않고도 랜덤 회로 샘플링의 난이도 결과를 확립할 수 있는가?
• RQ4 반대집중과 랜덤 양자 회로의 출력 확률 근사 복잡도 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 근사 난이도의 오차 경계는 회로의 게이트 수와 큐비트 수에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 다항계층이 붕괴하지 않는다고 가정할 때, BPP^NP 감소 하에, 랜덤 양자 회로의 출력 확률을 exp(−Ω(m log m)) 이내의 덧셈 오차로 근사하는 것은 #P-난이도이다.
• 일정 깊이 회로의 경우, 출력 확률을 2^−Ω(n log n) 이내의 오차로 근사하는 것은 #P-난이도이다.
• 깊이가 log n 인 회로의 경우, 근사 문제는 2^−Ω(n log² n) 이내의 오차에서 여전히 #P-난이도이다.
• 깊이가 √n 인 회로의 경우, 근사 문제는 2^−Ω(n^{3/2} log n) 이내의 오차에서 #P-난이도이다.
• 이 결과들은 Berlekamp–Welch나 Paturi의 보조정리와 같은 표준 기법을 사용하지 않고 원천에서부터 유도되었다.
• 반대집중 성질은 하드니스 결과에 필수적이며, 특히 log n 및 √n 깊이 영역에서 중요하다.