[논문 리뷰] Krylov complexity in quantum field theory, and beyond

Alexander Avdoshkin, Anatoly Dymarsky외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 29.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 60인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 자유 질량 보손 및 페르미온, 호로그래픽 모델, UV 절단이 있는 격자 시스템을 포함한 양자장이론에서 크릴로프 복잡도를 조사한다. Lanczos 계수의 비보편적인 渐近적 행동을 입증하고, 일반화된 Maldacena-Shenker-Stanford 경계 λ_K ≤ 2π/β를 확인하며, 크릴로프 복잡도가 호로그래픽 복잡도와 질적으로 다를 수 있음을 드러내어, 혼돈 역학에서의 보편성에 대한 이전 가정을 도전한다.

ABSTRACT

We study Krylov complexity in various models of quantum field theory: free massive bosons and fermions on flat space and on spheres, holographic models, and lattice models with the UV-cutoff. In certain cases we find asymptotic behavior of Lanczos coefficients, which goes beyond previously observed universality. We confirm that in all cases the exponential growth of Krylov complexity satisfies the conjectural inequality, which generalizes the Maldacena-Shenker-Stanford bound on chaos. We discuss temperature dependence of Lanczos coefficients and note that the relation between the growth of Lanczos coefficients and chaos may only hold for the sufficiently late, truly asymptotic regime governed by the physics at the UV cutoff. Contrary to previous suggestions, we show scenarios when Krylov complexity in quantum field theory behaves qualitatively differently from the holographic complexity.

연구 동기 및 목표

• 다양한 양자장이론 모델, 즉 자유 질량 장, 압축된 시스템, UV 절단이 있는 격자 모델에서 크릴로프 복잡도의 행동을 조사하는 것.
• Lanczos 계수 성장의 보편성 테스트 및 양자 혼돈과 Maldacena-Shenker-Stanford 경계와의 관계 평가.
• Lanczos 계수의 온도 의존성 조사 및 혼돈과 관련된 조건 규명.
• 크릴로프 복잡도를 호로그래픽 복잡도 및 계산 복잡도와 비교하며, 특히 비호로그래픽 장이론에서의 비교 수행.
• Lanczos 계수의 선형 성장이 항상 혼돈을 나타내는지 명확히 하고, 특히 UV 절단이 존재하는 경우에도 그 관계가 유지되는지 규명.

제안 방법

• Krylov 공간에서 국소 연산자의 자기상관함수 C(t)로부터 Lanczos 계수 b_n을 계산하기 위해 Lanczos 알고리즘을 사용한다.
• 재귀 방법을 적용하여 연산자 성장 역학을 정의하고, 평탄한 공간과 구면에서 자유 질량 보손 및 페르미온 이론에서 b_n을 추출한다.
• UV 절단이 있는 격자 모델에서 b_n의 渐近적 행동을 수치적으로 평가하여 기저 UV 이론의 적분 가능성 또는 혼돈 여부를 탐색한다.
• 일반화된 경계 λ_{\rm OTOC} ≤ λ_{\rm K} ≤ 2π/β를 활용하여 크릴로프 복잡도가 양자 혼돈 경계와 일관된지 테스트한다.
• 타원 적분과 안장점 근사법을 사용하여 순간수 μ_{2n}의 경로적분 공식에서 행동을 유도한다.
• 행동의 점근적 행동에서 로그 및 거듭제곱 보정을 추출하기 위해 작고 ε에 대한 전개와 1-ε 전개를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자장이론에서 크릴로프 복잡도는 점근적 영역에서 보편적인 행동을 보이는가, 특히 Lanczos 계수 성장 측면에서?
• RQ2 일반화된 Maldacena-Shenker-Stanford 경계 λ_{\rm K} ≤ 2π/β는 자유 질량 QFT 및 격자 모델에서 성립하는가?
• RQ3 UV 절단은 Lanczos 계수의 점근적 행동에 어떤 영향을 미치며, 이는 적분 가능성과 혼돈을 가진 UV 이론을 구별하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 비호로그래픽 모델에서 QFT의 크릴로프 복잡도는 호로그래픽 복잡도와 질적으로 어떻게 다를까?
• RQ5 b_n의 선형 성장이 항상 양자 혼돈을 신뢰성 있게 나타내는 조건은 무엇이며, 이 관계는 늦은 시점 점근적 영역을 초월해도 유지되는가?

주요 결과

• UV 절단이 있는 QFT에서 Lanczos 계수의 점근적 행동은 보편적이지 않으며, 기저 UV 이론에 따라 달라지며, 이는 b_n ∝ n 성장의 보편성에 대한 이전 가정을 도전한다.
• 자유 질량 보손 및 페르미온 이론에서 일반화된 경계 λ_{\rm OTOC} ≤ λ_{\rm K} ≤ 2π/β가 수치적으로 확인되었으며, 첫 번째 부등식이 자명하더라도 성립한다.
• 특정 경우, 예를 들어 구면 위의 압축된 자유 장에서, 크릴로프 복잡도는 호로그래픽 복잡도와는 다를 뿐 아니라, 본질적인 질적 유사성이 없음을 보여준다.
• Lanczos 계수 성장과 혼돈의 연결성은 오직 UV 물리에 의해 지배되는 진정한 점근적 영역에서만 유효하며, 중간 또는 초기 시점 동역학에서는 성립하지 않는다.
• ε가 작은 경우, 점근적 순간 행동은 log μ_{2n} ≈ n|log ε| - 2n log|log ε| + 2n log(2α n)로 표현되며, 주요 스케일링에 대한 로그 보정을 드러낸다.
• 1-ε 전개에서, 작용 보정은 δS = δ²/8이며, 이에 따라 log μ_{2n} ≈ 2n(log(4α n / πe) + δ²/16)로 표현되며, conformal 근처에서 이차 보정이 나타난다.