[논문 리뷰] Linear Sum Assignment with Edition

Sébastien Bougleux, Luc Brun|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 14.

Graph Theory and Algorithms참고 문헌 17인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 편집을 고려한 선형 합 할당 문제의 새로운 공식화를 제안하며, 표준 할당 모델을 부분 할당과 에프사일론(ε) 요소를 처리할 수 있도록 확장한다. 이론적으로는 (n+1)×(m+1) 이진 행렬을 사용하여 이완된 행과 열의 합 제약 조건을 만족시키는 방식으로 ε-할당을 모델링함으로써, 이중 그래프와 인접 행렬의 등가성을 유지하면서도 구조적 일관성을 확보하는 유연한 불완전 매칭을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the problem of transforming a set of elements into another by a sequence of elementary edit operations, namely substitutions, removals and insertions of elements. Each possible edit operation is penalized by a non-negative cost and the cost of a transformation is measured by summing the costs of its operations. A solution to this problem consists in defining a transformation having a minimal cost, among all possible transformations. To compute such a solution, the classical approach consists in representing removal and insertion operations by augmenting the two sets so that they get the same size. This allows to express the problem as a linear sum assignment problem (LSAP), which thus finds an optimal bijection (or permutation, perfect matching) between the two augmented sets. While the LSAP is known to be efficiently solvable in polynomial time complexity, for instance with the Hungarian algorithm, useless time and memory are spent to treat the elements which have been added to the initial sets. In this report, we show that the problem can be formalized as an extension of the LSAP which considers only one additional element in each set to represent removal and insertion operations. A solution to the problem is no longer represented as a bijection between the two augmented sets. We show that the considered problem is a binary linear program (BLP) very close to the LSAP. While it can be solved by any BLP solver, we propose an adaptation of the Hungarian algorithm which improves the time and memory complexities previously obtained by the approach based on the LSAP. The importance of the improvement increases as the size of the two sets and their absolute difference increase. Based on the analysis of the problem presented in this report, other classical algorithms can be adapted.

연구 동기 및 목표

• 선형 합 할당 문제에 부분 할당과 에프사일론 요소를 공식화한다.
• 표준 순열 행렬 제약 조건을 이완하여 불완전하거나 누락된 할당을 허용한다.
• 이중 행렬을 사용하여 (n+1)×(m+1) 이진 행렬 기반의 ε-할당 표현을 제공한다.
• ε-할당과 완전 이중 그래프 Kn+1,m+1의 부분그래프 사이의 등가성을 수립한다.
• 모든 요소가 매칭되어야 하는 것이 아닌 할당 문제의 효율적 모델링을 가능하게 한다.

제안 방법

• 이완된 행 및 열의 합 제약 조건을 만족하는 (n+1)×(m+1) 이진 행렬 X를 사용하여 ε-할당을 표현한다.
• 첫 n개 행의 각 행에 정확히 하나의 1이 존재하도록 제약을 설정하여 각 u_i가 최대 한 개의 v_j 또는 ε에 할당되도록 보장한다.
• 첫 m개 열의 각 열에 정확히 하나의 1이 존재하도록 제약을 설정하여 각 v_j가 최대 한 개의 u_i 또는 ε에 할당되도록 보장한다.
• ε 요소가 적어도 한 개의 v_j에 할당됨을 보장하기 위해 x_{n+1,m+1} = 1로 고정한다.
• 인접 행렬 X를 사용하여 완전 이중 그래프 Kn+1,m+1의 부분그래프 G = ((Uϵ, Vϵ), E)를 모델링한다.
• 제약 조건 (15)를 만족하는 임의의 행렬 X가 (16)의 매핑을 통해 유효한 ε-할당 φ로 변환됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 선형 합 할당 문제를 어떻게 부분 할당과 에프사일론 요소를 허용하도록 확장할 수 있는가?
• RQ2 이완된 할당 프레임워크에서 ε-할당을 표현하기 위해 필요한 필수 및 충분한 행렬 제약 조건은 무엇인가?
• RQ3 에프사일론 노드의 도입이 할당 행렬의 구조와 그 이중 그래프 표현에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이완된 제약 조건을 만족하는 (n+1)×(m+1) 이진 행렬이라면, 항상 유효한 ε-할당으로 매핑될 수 있는가?
• RQ5 Kn+1,m+1의 부분그래프의 인접 행렬과 해당 ε-할당 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 유효한 ε-할당의 집합은 식 (15)의 제약 조건을 만족하는 (n+1)×(m+1) 이진 행렬의 집합과 정확히 일치한다.
• X의 첫 n개 행 각각에는 정확히 하나의 1이 존재하여 각 u_i가 최대 한 개의 v_j 또는 ε에 할당됨을 보장한다.
• X의 첫 m개 열 각각에는 정확히 하나의 1이 존재하여 각 v_j가 최대 한 개의 u_i 또는 ε에 할당됨을 보장한다.
• X의 마지막 행과 마지막 열은 이완된 제약 조건을 만족한다: 1 ≤ 마지막 행의 합 ≤ n+1 이고 1 ≤ 마지막 열의 합 ≤ m+1 이다.
• x_{n+1,m+1} = 1에 의해 보장되므로 ε는 항상 적어도 한 개의 v_j에 할당된다.
• ε-할당과 식 (15)를 만족하는 인접 행렬을 가진 Kn+1,m+1의 부분그래프 사이에는 일대일 대응 관계가 존재한다.