[논문 리뷰] Lower bounds on the number of rounds of the quantum approximate optimization algorithm required for guaranteed approximation ratios

Naphan Benchasattabuse, Andreas Bärtschi외 4명|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 29.

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 조합 최적화 문제에 대해 일정한 근사 비율을 보장하기 위해 필요한 QAOA 라운드 수에 대한 이론적 하한을 처음으로 설정한다. QAOA를 양자 애너일링과 연결하고 문제 해밀토니안과 믹서 해밀토니안 간의 교환자 스펙트럴 노름을 분석하여, 대부분의 문제에서 그로버 스타일 믹싱은 다항수의 라운드가 필요하다는 것을 증명한다. 이와 동시에 비구조적 검색에 대해 그로버 하한을 복원한다.

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm, also known in its generalization as the quantum alternating operator ansatz, (QAOA) is a heuristic hybrid quantum-classical algorithm for finding high-quality approximate solutions to combinatorial optimization problems, such as maximum satisfiability. While the QAOA is well studied, theoretical results as to its runtime or approximation ratio guarantees are still relatively sparse. We provide some of the first lower bounds for the number of rounds (the dominant component of QAOA runtimes) required for the QAOA. For our main result, we (i) leverage a connection between quantum annealing times and the angles of the QAOA to derive a lower bound on the number of rounds of the QAOA with respect to the guaranteed approximation ratio. We apply and calculate this bound with Grover-style mixing unitaries and (ii) show that this type of QAOA requires at least a polynomial number of rounds to guarantee any constant approximation ratios for most problems. We also (iii) show that the bound depends only on the statistical values of the objective functions, and when the problem can be modeled as a $k$-local Hamiltonian, can be easily estimated from the coefficients of the Hamiltonians. For the conventional transverse-field mixer, (iv) our framework gives a trivial lower bound to all bounded-occurrence local cost problems and for all strictly $k$-local cost Hamiltonians matching known results that constant approximation ratio is obtainable with a constant-round QAOA for a few optimization problems from these classes. Using our proof framework, (v) we recover the Grover lower bound for unstructured search and, with small modification, show that our bound applies to any QAOA-style search protocol that starts in the ground state of the mixing unitaries.

연구 동기 및 목표

• 최적화 문제에 대해 보장된 일정한 근사 비율을 달성하기 위해 필요한 QAOA 라운드 수에 대한 엄밀한 하한을 설정하는 것.
• 애너일링 시간과 QAOA 각도 사이의 관계를 활용하여 QAOA 성능을 양자 애너일링 역학과 연결하는 것.
• 문제 해밀토니안과 믹서 해밀토니안의 구조가 함께 라운드 수의 최소값을 결정하는 방식을 분석하는 것.
• 그로버 스타일 믹싱의 경우, 대부분의 문제에서 어떤 일정한 근사 비율을 달성하기 위해 QAOA가 다항수의 라운드가 필요하다는 것을 보여주는 것.
• 비구조적 검색에 대해 그로버 하한을 복원하고, 믹서 해밀토니안의 기본 상태에서 시작하는 일반 QAOA 스타일 검색 프로토콜로 이 프레임워크를 확장하는 것.

제안 방법

• 문제 해밀토니안 $H_1$ 과 초기 투영 $P_0$ 간의 교환자 $[P_0, H_1]$ 의 스펙트럴 노름을 사용하여 QAOA의 일반적인 하한을 유도한다.
• 비가환 해밀토니안 $H_0$ 와 $H_1$ 에 의해 구동되는 유니터리 연산의 순서로 진동을 모델링하여 [31]의 결과를 QAOA에 적용한다.
• 상태 진동의 에너지 변화를 대체로 사용하여, $ p \triangleq \frac{\left|\braket{P_0}_p - \braket{P_0}_0\right|}{2\pi\|[P_0, H_1]\|} $ 를 통해 라운드 수를 근사한다.
• 믹서 해밀토니안이 횡방향 자기장인 그로버 스타일 믹싱에 이 프레임워크를 적용하고, 교환자 노름을 명시적으로 계산한다.
• 일반적으로 $k$-로컬 또는 엄밀히 $k$-로컬 해밀토니안의 경우, 하한이 계수의 통계적 성질에만 의존한다는 것을 보여준다.
• 믹서 해밀토니안의 기본 상태에서 시작하는 일반 QAOA 스타일 검색 프로토콜, 즉 연속 시간 양자 산책을 포함하여 이 하한을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 최적화 문제에 대해 일정한 근사 비율을 보장하기 위해 필요한 QAOA 라운드 수의 최소값은 얼마인가?
• RQ2 문제 해밀토니안과 믹서 해밀토니안 간의 교환자 스펙트럴 노름이 QAOA의 하한 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이 프레임워크는 비구조적 검색에 대해 알려진 그로버 하한을 복원할 수 있는가?
• RQ4 기본적인 횡방향 자기장 믹서는 제한된 $k$-로컬 문제에서는 큰 교환자 노름으로 인해 기껏해야 자명한 하한($p \geq 1$)을 낳지만, 실제로는 일정한 라운드 수로 성공함에도 불구하고 왜 그런가?
• RQ5 각도 가정이나 라운드당 효과적 에너지 변화를 통합함으로써 하한을 얼마나 더 좁힐 수 있는가?

주요 결과

• 그로버 스타일 믹싱의 경우, 대부분의 문제에서 어떤 일정한 근사 비율을 보장하기 위해 QAOA는 최소한 다항수의 라운드가 필요하다.
• 문제가 $k$-로컬 해밀토니안으로 모델링될 경우, 유도된 하한은 목적 함수 계수의 통계적 성질에만 의존한다.
• 문제가 QAOA 스타일 검색 프로토콜로 재구성될 경우, 이 프레임워크는 비구조적 검색에 대해 그로버 하한을 복원한다.
• 기본적인 횡방향 자기장 믹서의 경우, 제한된 $k$-로컬 및 엄밀히 $k$-로컬 문제에서는 큰 교환자 노름으로 인해 하한이 자명해지며($p \geq 1$), 이는 기껏해야 자명한 결과를 낳는다.
• 이 하한은 믹서 해밀토니안의 기본 상태에서 시작하는 모든 QAOA 스타일 프로토콜에 적용 가능하며, 앰플리튜드 증폭 및 연속 시간 양자 산책을 포함한다.
• 이 프레임워크는 믹서의 선택이 이론적 라운드 복잡도에 상당한 영향을 미친다는 것을 드러내며, 이는 믹서 설계가 효율적인 QAOA 성능을 위해 핵심적이라는 것을 시사한다.