[논문 리뷰] Markovian Matrix Product Density Operators : Efficient computation of global entropy

Isaac H. Kim|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 22.

Quantum many-body systems참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 혼합 상태를 위한 행렬 곱 상태의 하위 클래스인 마르코프성 행렬 곱 밀도 연산자(MPDOs)를 소개하고, 그들의 바이어너리 엔트로피가 고전적 컴퓨터에서 효율적으로 계산될 수 있음을 보여준다. 근사적인 양자 마르코프 체인 구조를 증명하는 일련의 국소 부등식을 검증함으로써, 전역 엔트로피는 국소 엔트로피로 재귀적으로 분해되며, 이는 다항시간 내에 계산 가능하게 한다. 핵심 결과는 1차원 국소 해밀토니안의 열역학적 상태에 대한 타당한 추측이 성립할 경우, 유한 온도 자유 에너지 문제가 NP에 속한다는 것이다—이는 유한 온도에서 고전적 다항시간 계산 가능성의 잠재적 길을 제시한다.

ABSTRACT

We introduce the Markovian matrix product density operator, which is a special subclass of the matrix product density operator. We show that the von Neumann entropy of such ansatz can be computed efficiently on a classical computer. This is possible because one can efficiently certify that the global state forms an approximate quantum Markov chain by verifying a set of inequalities. Each of these inequalities can be verified in time that scales polynomially with the bond dimension and the local Hilbert space dimension. The total number of inequalities scale linearly with the system size. We use this fact to study the complexity of computing the minimum free energy of local Hamiltonians at finite temperature. To this end, we introduce the free energy problem as a generalization of the local Hamiltonian problem, and study its complexity for a class of Hamiltonians that describe quantum spin chains. The corresponding free energy problem at finite temperature is in NP if the Gibbs state of such Hamiltonian forms an approximate quantum Markov chain with an error that decays exponentially with the width of the conditioning subsystem.

연구 동기 및 목표

• 혼합 양자 상태에서 바이어너리 엔트로피를 계산하는 데 어려움을 해결하기 위해, 특히 유한 온도에서의 계산 곤경을 다루기 위해.
• 자유 에너지 문제를 도입함으로써 국소 해밀토니안 문제를 유한 온도로 일반화하기 위해.
• 단거리 상관관계를 가지는 유한 온도 양자 스핀 체계가 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션될 수 있는지 탐색하기 위해.
• 1차원 국소 해밀토니안의 최소 자유 에너지를 다항시간 내에 검증할 수 있는 조건을 설정하기 위해.
• 행렬 곱 밀도 연산자 내 마르코프성 구조에 기반한 열역학적 상태에 대한 고전적 검증 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 전역 상태가 근사적인 양자 마르코프 체인 조건을 만족하는 마르코프성 MPDO를 행렬 곱 밀도 연산자의 하위 클래스로 제안한다.
• 전역 상태가 근사적인 양자 마르코프 체인을 이룰 수 있음을 검증하기 위해 다항시간 내에 검증 가능한 국소 부등식의 집합을 사용한다.
• 마르코프 조건을 재귀적으로 적용하여 전역 엔트로피를 1-체계 및 2-체계 부분계의 엔트로피의 선형 조합으로 분해한다.
• 엔트로피의 연속성과 트레이스 거리 유계를 적용하여 MPDO 근사 오차를 자유 에너지 오차와 연결한다.
• 국소 텐서 데이터를 사용해 마르코프성 구조를 다항시간 내에 검증함으로써 엔트로피 분해의 효율적 검증을 가능하게 한다.
• 효율적인 엔트로피 계산을 활용하여 최소 자유 에너지의 다항시간 상한을 구성하고, NP 검증에 적합한 형태로 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 근사적인 양자 마르코프 체인 조건을 만족하는 혼합 양자 상태의 바이어너리 엔트로피가 다항시간 내에 효율적으로 계산될 수 있는가?
• RQ2 1차원 국소 해밀토니안의 유한 온도 자유 에너지 문제는 어떤 조건에서 NP에 속하는가?
• RQ3 1차원 국소 해밀토니안의 열역학적 상태는 다항 밴드 차수와 다항 정밀도를 가진 마르코프성 MPDO로 근사될 수 있는가?
• RQ4 국소 데이터에 기반한 행렬 곱 밀도 연산자의 전역 엔트로피에 대한 고전적 검증 절차가 존재하는가?
• RQ5 마르코프성 MPDO 구조가 포착하는 유한 온도에서의 장거리 상관관계 부재는 자유 에너지 문제의 고전적 다항시간 계산 가능성으로 이어지는가?

주요 결과

• 마르코프성 MPDO의 바이어너리 엔트로피는 1-체계 및 2-체계 부분계의 국소 엔트로피의 합으로 분해함으로써 다항시간 내에 계산 가능하다.
• MPDO 텐서에 대해 다항시간 내에 검증 가능한 일련의 국소 부등식이 성립할 경우, 전역 상태는 근사적인 양자 마르코프 체인을 이룬다.
• MPDO가 진짜 상태의 1/poly(n) 근사일 경우, 엔트로피 근사 오차는 O(n^{-1-α}) 이하로 유계가 된다(모든 α > 0에 대해).
• 유한 온도 T = O(1)에서 1차원 국소 해밀토니안의 자유 에너지는 다항 밴드 차수를 가진 마르코프성 MPDO를 사용해 1/poly(n) 오차 내에서 검증 가능하다.
• 추측 1이 성립할 경우, 1차원 국소 해밀토니안의 최소 자유 에너지 문제의 유한 온도에서 NP에 속한다. 이는 다항시간에 검증 가능한 MPDO 근사가 존재하기 때문이다.
• 이 방법은 스펙트럼 갭 가정을 피하고, 대신 열역학적 상태의 마르코프성 구조에만 의존함으로써, 열역학적 평형이 양자 복잡도를 단순화시킬 수 있음을 시사한다.