[논문 리뷰] On solving classes of positive-definite quantum linear systems with quadratically improved runtime in the condition number

Davide Orsucci, Vedran Dunjko|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 66인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 양의 정부호 양자 선형계(PD-QLS) 문제의 런타임이 조건수 κ에 선형적으로 의존함을 보이며, worst case에서 이중 속도 향상이 불가능하다고 규명한다. 그러나 이는 효율적인 행렬 블록 인코딩 A⁻¹ 또는 행렬 분해 A = LL†를 활용하여 광범위한 PD-QLS 클래스에 대해 O(√κ) 런타임을 달성하는 두 가지 새로운 양자 알고리즘을 제안함으로써, 이중 속도 향상과 BQP-완전 문제의 해결을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Quantum algorithms for solving the Quantum Linear System (QLS) problem are among the most investigated quantum algorithms of recent times, with potential applications including the solution of computationally intractable differential equations and speed-ups in machine learning. A fundamental parameter governing the efficiency of QLS solvers is $\kappa$, the condition number of the coefficient matrix $A$, as it has been known since the inception of the QLS problem that for worst-case instances the runtime scales at least linearly in $\kappa$ [Harrow, Hassidim and Lloyd, PRL 103, 150502 (2009)]. However, for the case of positive-definite matrices classical algorithms can solve linear systems with a runtime scaling as $\sqrt{\kappa}$, a quadratic improvement compared to the the indefinite case. It is then natural to ask whether QLS solvers may hold an analogous improvement. In this work we answer the question in the negative, showing that solving a QLS entails a runtime linear in $\kappa$ also when $A$ is positive definite. We then identify broad classes of positive-definite QLS where this lower bound can be circumvented and present two new quantum algorithms featuring a quadratic speed-up in $\kappa$: the first is based on efficiently implementing a matrix-block-encoding of $A^{-1}$, the second constructs a decomposition of the form $A = L L^\dagger$ to precondition the system. These methods are widely applicable and both allow to efficiently solve BQP-complete problems.

연구 동기 및 목표

• 양의 정부호 선형계를 위한 양자 알고리즘이 고전적 방법과 유사하게 조건수 κ에 대해 이중 속도 향상을 달성할 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 일반적인 Ω(κ) 하한선에도 불구하고, 이러한 이중 속도 향상이 가능한 양의 정부호 행렬의 구조적 클래스를 특정하는 것.
• 개선된 런타임 스케일링을 갖는 이러한 구조적 PD-QLS 문제를 효율적으로 해결하는 새로운 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 일부 PD-QLS 문제 하위집합이 BQP-완전함을 입증하여 계산적 보편성을 보여주는 것.
• 이론적 양자 속도 향상과 실용적 적용 가능성을 연결하기 위해, 효율적인 양자 해법이 가능한 널리 적용 가능한 행렬 가족을 규명하는 것.

제안 방법

• A⁻¹의 효율적 행렬-블록 인코딩을 구현하는 데 기반한 양자 알고리즘을 개발하여, PD-QLS를 해결하기 위해 O(√κ) 쿼리 및 게이트 복잡도를 달성한다.
• A = LL† 분해를 구성하는 프리컨디셔닝 방법을 도입하여, O(√κ) 게이트 복잡도로 효율적인 양자 해법이 가능한 형태로 시스템을 변환한다.
• 블록 인코딩 프레임워크를 사용하여 역행렬 A⁻¹을 양자 계산 가능한 형태로 표현함으로써, 효율적인 상태 준비 및 유니터리 진화를 가능하게 한다.
• 계수 행렬 A를 하삼각 행렬과 그 켤레 전치행렬의 곱으로 분해하여 효과적인 프리컨디셔닝과 향상된 수렴을 가능하게 한다.
• 양자 회로를 QLS 문제로 인코딩하기 위해 Feynman-Kitaev 해밀토니안 구축을 적용하여, Sum-QLS 하위집합이 BQP-완전임을 증명한다.
• 단위기계 진동을 표현하는 행렬 M으로부터 Hermitian 양의 정부호 행렬 A = M†M를 구성함으로써, 양자 회로 시뮬레이션과 QLS 간의 연결을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 정부호 선형계를 위한 양자 알고리즘이 고전적 반복 해법과 유사하게 조건수 κ에 대해 이중 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ2 양의 정부호 행렬의 어떤 구조적 특성이 일반적인 Ω(κ) 하한선 대비 O(√κ) 런타임 스케일링을 가능하게 하는가?
• RQ3 행렬-블록 인코딩 또는 행렬 분해를 활용하여 구조적 PD-QLS 문제의 효율적 양자 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ4 일부 양의 정부호 양자 선형계 문제를 해결하는 것이 BQP-완전한가?
• RQ5 조건수 의존성에서 이중 개선을 가능하게 하는 최소한의 행렬 구조 및 희박성 가정은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 표준 액세스 모델 하에서 모든 QLS 문제, 특히 양의 정부호 사례를 포함하여, 일반적인 Ω(κ) 쿼리 복잡도 하한선을 증명한다.
• 광범위한 양의 정부호 행렬 클래스에 대해 제안된 블록 인코딩 기반 알고리즘이 O(√κ) 쿼리 및 게이트 복잡도를 달성하여, 일반 QLS 하한선 대비 이중 속도 향상을 제공함을 확인한다.
• 분해 기반 알고리즘도 A = LL†를 통한 프리컨디셔닝에 의해 O(√κ) 게이트 복잡도를 달성하며, 이는 b가 해공간과 충분한 오버랩을 가진다는 조건 하에 성립한다.
• 다양한 양의 정부호 국소 해밀토니안의 합으로 정의된 Sum-QLS 문제는 BQP-완전임이 입증된다.
• 알고리즘은 A가 양의 정부호이고 b가 희박한 경우, 이산화된 PDE(예: 푸아송 방정식) 및 양자 회로 시뮬레이션 등의 문제에 적용 가능하다.
• 분석 결과, 오버랩 파라미터 γ가 작을 때이고, 행렬 A가 유한한 국소성과 희박성을 갖는 O(T) 개의 양의 정부호 국소 해밀토니안의 합으로 구성되어 있을 경우, 런타임 향상이 달성됨을 확인한다.