[논문 리뷰] New Simple Method of Expansion of Iterated Ito Stochastic integrals of Multiplicity 2 Based on Expansion of the Brownian Motion Using Legendre Polynomials and Trigonometric Functions

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 레지오드 다항식과 삼각함수를 이용한 브라운 운동의 정규직교 전개를 통해 다중성 2인 반복 이토 스토크래틱 적분을 단순화된 방법으로 확장하는 새로운 방법을 제시한다. 주요 기여는 레지오드 다항식을 사용한 레비 스토크래틱 면적의 새로운 다항식 표현으로, 고전적인 삼각함수 표현보다 더 단순한 형태를 제공하며, 전개 순서가 증가함에 따라 평균 제곱수 수렴 및 거의 확실히 수렴함을 보장한다.

ABSTRACT

The article is devoted to the expansion of iterated Ito stochastic integrals of second multiplicity based on expansion of the Brownian motion (standard Wiener process) using complete orthonormal systems of functions in the space $L_2([t, T]).$ The cases of Legendre polynomials and trigonometric functions are considered in details. We obtained a new representation of the Levy stochastic area based on the Legendre polynomials. This representation was first derived in the author's work (1997). In this article, we obtain the mentioned representation by a simpler method compared to the author's work (1997). Also, we get the polynomial representation of the Levy stochastic area using the method of expansion of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multple Fourier series. The polynomial representation of the Levy stochastic area has more simple form in comparison with the classical trigonometric representation of the Levy stochastic area. The convergence in the mean of degree $2n$ $(n\in\mathbb{N})$ as well as the convergence with probability 1 for approximations of the Levy stochastic area are proved. The results of the article can be applied to the numerical solution of Ito stochastic differential equations as well as to the numerical approximation of mild solution for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations.

연구 동기 및 목표

• 다중성 2인 반복 이토 스토크래틱 적분을 위한 새로운이고 단순한 전개 방법을 개발하기 위해.
• 레지오드 다항식을 사용한 레비 스토크래틱 면적의 다항식 표현을 유도하여 고전적인 삼각함수 형태보다 개선하기 위해.
• 레비 스토크래틱 면적의 근사치에 대한 평균 제곱수 및 거의 확실한 수렴을 확립하기 위해.
• 이토 스토크래틱 미분방정식과 비가환성 반선형 스토크래틱 편미분방정식의 온화한 해를 더 효율적으로 수치적으로 해결할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 시간 간격 $[t,T]$ 에서의 $L_2$ 공간에서 완비 정규직교 체계로 브라운 운동을 전개하며, 특히 레지오드 다항식과 삼각함수를 사용한다.
• 다중 이토 스토크래틱 적분의 다중성 2 표현을 위해 일반화된 다중 푸리에 급수를 적용한다.
• 복잡한 삼각급수를 피하기 위해 레지오드 다항식 전개를 통해 레비 스토크래틱 면적의 새로운 표현을 도출한다.
• 항등식 $I_{T,t}^{(i_1i_2)} = \frac{1}{2}I_{T,t}^{(i_1)}I_{T,t}^{(i_2)} + A_{T,t}^{(i_1i_2)}$ 를 사용하여 반복 적분과 레비 면적을 연결한다.
• 독립적인 표준 정규분포 랜덤 변수의 유한합을 사용하여 근사치 $A_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ 와 $\hat{A}_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ 를 구성한다.
• 모멘트 추정과 급수 수렴 논증을 활용하여 $q \to \infty$ 일 때 $L^{2n}$ 및 거의 확실한 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라운 운동의 레지오드 다항식 전개를 통해 레비 스토크래틱 면적의 더 단순하고 효율적인 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ2 레지오드 기반 다항식 표현의 복잡성과 수렴 특성은 고전적인 삼각함수 표현과 비교해 어떻게 다른가?
• RQ3 레지오드 기반 근사치의 평균 제곱수 및 거의 확실한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 이 새로운 방법은 이토 SDE 및 SPDE의 수치적 해법 향상에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 레지오드 다항식을 사용한 레비 스토크래틱 면적의 새로운 다항식 표현을 도출하였으며, 고전적인 삼각함수 형태보다 더 단순한 형태이다.
• 근사치 $A_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ 의 평균 제곱오차는 $C_1 \frac{(T-t)^2}{q}$ 로 유계이며, 이는 $O(1/q)$ 수렴을 보여준다.
• 대체 근사치 $\hat{A}_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ 의 평균 제곱오차는 $C_2 \frac{(T-t)^2}{q}$ 로 유계이며, 역시 $O(1/q)$ 수렴을 나타낸다.
• $L^{2n}$-노름의 오차는 $q \to \infty$ 일 때 0으로 수렴하며, 이에 대한 유계는 $n$ 과 $k=2$ 에 의존하는 상수 $C_{n,2}$ 를 포함한다.
• 보렐-칸텔리 보조정리와 모멘트 급수의 합성 가능성을 활용하여, 두 근사치 $A_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ 와 $\hat{A}_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ 가 진짜 레비 면적으로 거의 확실히 수렴함을 증명하였다.
• 이전의 1997년 연구에 비해, 레지오드 기반 표현의 유도 과정이 더 직접적이고 단순화된 방식으로 이루어졌다.