[논문 리뷰] On competition through growth reduction

Carles Barril, Àngel Calsina외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 03. 06.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology ModelsMedicine인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 개체군 내 개체가 더 큰 동종 개체에 의해 그 성장 속도가 감소하는 크기 구조 모델을 연구한다. 이는 빛 차단을 통한 경쟁을 모델링한다. 스칼라 재생 방정식과 지연 미분 방정식을 사용하여 일반 조건 하에서 유일한 비자명한 정적 출생률이 존재하고 안정됨을 증명하며, 결과를 준선형 PDE 설정과 연결하고 선형화 분석을 통해 안정성을 확립한다.

ABSTRACT

We consider a population organised hierarchically with respect to size in such a way that the growth rate of each individual depends only on the presence of larger individuals. As a concrete example one might think of a forest, in which the incidence of light on a tree (and hence how fast it grows) is affected by shading of taller trees. The model is formulated as a delay equation, more specifically a scalar renewal equation, for the population birth rate. After discussing the well-posedness of the model, we analyse how many stationary birth rates the equation can have in terms of the functional parameters of the model. In particular we show that, under reasonable and rather general assumptions, only one stationary birth rate can exist besides the trivial one (associated to the state in which there are no individuals and the population birth rate is zero). We give conditions for this non-trivial stationary birth rate to exist and we analyse its stability using the principle of linearised stability for delay equations. Finally we relate the results to an alternative formulation of the model taking the form of a quasilinear partial differential equation for the population size-density.

연구 동기 및 목표

• 숲에서 빛 경쟁에 기인하여 더 큰 개체에 의해 성장이 감소하는 개체군 역학을 모델링하기 위해.
• 이러한 시스템에서 비영(0) 정적 출생률의 존재성과 안정성을 분석하기 위해.
• 지연 방정식 설정과 동일한 개체군 모델의 준선형 PDE 모델 간의 대응 관계를 수립하기 위해.
• 선형화된 안정성 이론을 적용하여 비자명한 평형 상태가 국소적으로 점점 안정해지는 조건을 결정하기 위해.

제안 방법

• 성장 속도가 더 큰 개체의 수에 의존하는 인구 출생률에 대한 스칼라 비선형 재생 방정식으로 모델을 설정한다.
• 상호작용 변수 $ E(x,t) = \int_x^\infty u(s,t)\,ds $ 를 도입하여, $ x $ 보다 큰 개체들에 의한 누적 캐스팅 효과를 나타낸다.
• 지연 미분 방정식을 사용하여 시스템을 분석하고, 정적 상태 주변의 선형화 안정성에 대한 특성 방정식을 유도한다.
• 지연 방정식의 선형화 안정성 원리를 적용하여 비자명한 정적 출생률의 안정성을 결정한다.
• 비국소 피드백을 포함하는 인구 크기 밀도에 대한 등가의 준선형 일阶 PDE 설정을 유도한다.
• PDE에서의 비자명한 정적 밀도 조건과 지연 설정에서의 비자명한 정적 출생률 조건 간의 등가성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 성장이 더 큰 개체에 의해 감소하는 개체군에서 비자명한 정적 출생률이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 영(0) 출생률일 때의 순번식 번식 수치 $ R(0) $ 이 영(0) 출생률의 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 지연 방정식 설정과 동일한 개체군 모델의 준선형 PDE 설정 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 지연 방정식의 선형화 분석을 통해 비자명한 평형 상태의 안정성을 결정할 수 있는가?
• RQ5 생식력 $ \beta(x) $, 성장 속도 $ g(E) $, 사망률 $ \mu $ 등의 기능적 매개변수들이 평형점의 존재성과 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 일반적이고 합리적인 가정 하에서, 모델은 영(0) 해 외에 최대 하나의 비자명한 정적 출생률을 허용한다.
• 비자명한 정적 출생률이 존재하는 것은 유일하게 영(0) 인구에서의 순번식 번식 수치 $ R(0) = \int_{x_m}^\infty \frac{\beta(x)}{g(0)} e^{-\frac{\mu}{g(0)}(x-x_m)}\,dx $ 가 1을 초과할 때이다.
• 영(0) 출생률이 유일한 정적 출생률일 경우, 즉 $ R(0) < 1 $ 일 경우, 영(0) 평형 상태는 전역적으로 점점 안정하다.
• 생식력 함수의 이중 매개변수 가족에 대해, 비자명한 정적 출생률은 존재할 경우 국소적으로 점점 안정하다.
• 지연 설정에서의 선형화 안정성에 대한 특성 방정식은 PDE 설정에서 유도된 것과 정확히 일치하여 두 모델 간의 일致성을 확인한다.
• 비자명한 평형 상태의 안정성은 선형화된 연산자의 스펙트럼 성질로부터 유추할 수 있으며, 주요 고유값이 안정성 결정한다.