[논문 리뷰] On function spaces and polynomial-time computability.

Akitoshi Kawamura, Arno Pauly|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 13.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속 실수 함수의 공간에 대한 자연스러운 표현을 제안하며, 함수 평가의 다항시간 계산 가능성을 보장하고, 유형-두 효과적 위상수학을 다항시간 복잡도로 확장한다. 표현 Œ!ı� 가 점별 평가를 다항시간 내에 계산 가능하게 만드는 최소 표현임을 입증하며, 실수 함수의 복잡도 이론적 분석을 위한 기초 도구를 제공한다.

ABSTRACT

In Computable Analysis, elements of uncountable spaces, such as the real line R, are represented by functions on strings and fed to Turing machines as oracles; or equivalently, they are represented by infinite strings and written on the tapes of Turing machines [Wei00, BHW08]. To obtain reasonable notions of computability and complexity, it is hence important to choose the “right ” representation (encoding) for the spaces being considered. Let’s say we have already agreed upon representations and ı of spaces X and Y (that are admissible with the topologies of X and Y). How would we represent the space CŒX!Y � of continuous functions from X to Y? It is known that there is a natural representation Œ! ı� of CŒX! Y � which is characterized by the property that it is the poorest representation that makes function evaluation computable [Wei00, Lemma 3.3.14]. Is there a representation with a similar property also at the level of polynomial-time computability (as introduced in [KF82] and extended in [KC96, KC12])? In this note we observe that there is such a nice representation for the space of continuous real-valued functions. Generalization to other spaces is left for future research. 1. TYPE-TWO POLYNOMIAL-TIME COMPUTABILITY We consider computational problems as multi-valued functions from the set X of possible inputs to the set Y of possible outputs. An.X; Y /-problem F is formally a subset of X Y. The set of x 2 X such that there is y 2 Y with.x; y / 2 F is called the domain of definition or the promise of F and denoted dom F. For x 2 dom F, we write FŒx � for the (nonempty) set of all such y. If FŒx � is a singleton, we write F.x / for the unique element of FŒx�. When this is the case for all x 2 dom F, we say that F is a single-valued problem, or a partial function. When dom F D X, we say that F is total. A single-valued total problem is called a function. The intuitive interpretation is that F specifies a problem where, given any x 2 dom F, you are required to output some element of FŒx�. Thus, the specification becomes stricter as dom F gets bigger or as FŒx � (for some x 2 dom F) gets smaller. For a.Y; Z/-problem F and an.X; Y /-problem G, we define the.X; Z/-problem F ı G by saying that its promise is (1) dom.F ı G / D f x 2 dom G W GŒx � dom F g; and that, for any x in this promise, (2).F ı G/Œx � D [ y2GŒx�

연구 동기 및 목표

• 연속 실수 함수의 공간에 대해 다항시간 계산 가능성을 지원하는 적절한 표현을 특정하는 것.
• 특히 C[R → R]에 대해 유형-두 다항시간 계산 가능성을 함수 공간으로 확장하는 것.
• 함수 평가를 다항시간 내에 계산 가능하게 만드는 최소 표현을 특성화하는 것.
• 계산 가능성 이론에서 연속 함수의 복잡도 이론적 분석을 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 논문은 유형-두 효과적 위상수학의 프레임워크를 채택하여, 실수와 함수를 무한 수열로 표현하기 위해 오라클 튜링 기계를 사용한다.
• 위상공간 X와 Y가 각각 적합한 표현 ı와 ı를 갖는다고 할 때, 연속 함수의 공간 C[X → Y]에 대한 표현 Œ!ı� 를 정의한다.
• 표현 Œ!ı� 는 점별 함수 평가를 다항시간 내에 계산 가능하게 만드는 최소 표현이 되도록 구성된다.
• 기존의 [Wei00, Lemma 3.3.14]에서 알려진 연속 함수 표현의 특성화를 다항시간 설정으로 적응하여 활용한다.
• 논문은 X = R 및 Y = R 인 경우를 중심으로 다루며, C[R → R]에 대해 원하는 복잡도 성질을 갖는 자연스러운 표현이 존재함을 보여준다.
• 기타 공간으로의 일반화는 향후 연구를 위한 열린 방향으로 남겨둔다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 C[R → R] 공간의 표현 중 함수 평가의 다항시간 계산 가능성을 보장하는 것이 존재하는가?
• RQ2 함수 평가를 다항시간 내에 계산 가능하게 만드는 최소 표현은 무엇인가?
• RQ3 계산 가능성 이론에서 함수 공간 표현의 특성화를 다항시간 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 표현의 선택이 연속 함수 공간에서 함수 평가의 복잡도에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 연속 실수 함수의 공간에 대해 다항시간 계산 가능성을 보장하는 자연스러운 표현 Œ!ı� 가 존재한다.
• 이 표현은 점별 평가를 다항시간 내에 계산 가능하게 만드는 최소 표현이므로, 가장 낮은 수준의 표현임을 뜻한다.
• 이 구성은 기존의 계산 가능성 이론에서 알려진 특성화를 실수 함수의 다항시간 설정으로 일반화한다.
• 이 결과는 실수 계산에서 연속 함수의 복잡도 이론적 분석을 위한 기초 표현을 제공한다.
• 기타 위상공간으로의 일반화는 아직 열려 있어 향후 연구의 방향성을 제시한다.