[논문 리뷰] On the $\psi$-Hilfer fractional derivative

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 17.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 12인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 다른 함수 $ψ$ 에 대한 새로운 분수계 미분인 $ψ$-Hilfer 분수미분을 소개한다. 이는 기존의 분수계 미분 이론을 일반화하는 것으로, $ψ$-분수적 적분과 Mittag-Leffler 함수의 성질을 활용하여 통합된 분수적 적분 및 미분의 클래스를 수립함으로써 기억성과 유전적 성질을 가진 복잡한 시스템을 모델링하는 데도 활용 가능한 탄력적인 도구를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce a new fractional derivative with respect to another function the so-called $\psi$-Hilfer fractional derivative. We discuss some properties and important results of the fractional calculus. In this sense, we present some uniformly convergent sequence of function results and examples involving the Mittag-Leffler function with one parameter. Finally, we present a wide class of integrals and fractional derivatives, by means of the fractional integral with respect to another function and the $\psi$-Hilfer fractional derivative.

연구 동기 및 목표

• 기본 함수 $ψ$ 를 포함시켜 기존의 분수계 미분 개념을 일반화하는 새로운 분수미분인 $ψ$-Hilfer 미분을 개발하는 것.
• $ψ$-분수적 적분과 새로운 미분을 활용하여 광범위한 분수적 적분 및 미분의 클래스를 통합하는 것.
• $ψ$-Hilfer 미분의 이론적 기초를 확립하는 것. 이는 수렴 성질과 함수 수열을 포함한다.
• 일파라미터 Mittag-Leffler 함수를 활용한 예시를 통해 이 프레임워크의 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• $ψ$-Hilfer 분수미분은 함수 $ψ$ 에 대한 분수적 적분을 통해 정의되며, 고전적 Hilfer 미분을 일반화한다.
• 이 방법은 Riemann-Liouville 및 Caputo 분수적 적분을 일반화하는 $ψ$-분수적 적분 연산자에 의존한다.
• 함수 수열의 균등 수렴성을 분석하여 미분의 행동에서 안정성과 일관성을 확보한다.
• 일파라미터 Mittag-Leffler 함수는 예제를 구성하고 검증하기 위한 핵심 분석 도구로 사용된다.
• $ψ$-의존적인 형식을 통해 분수적 적분과 미분을 하나의 일관된 체계로 통합한다.
• 함수 수열과 적분 변환에 대한 $ψ$-Hilfer 미분의 행동을 포함한 성질을 활용하여 이론적 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hilfer 분수미분은 어떤 식으로 기저 함수 $ψ$ 를 포함시켜 모델링의 탄력성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 함수 수열에서 $ψ$-Hilfer 미분의 기본 성질과 수렴 행동은 무엇인가?
• RQ3 $ψ$-Hilfer 미분은 기존의 분수적 적분 및 미분 연산자와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 일파라미터 Mittag-Leffler 함수는 $ψ$-Hilfer 프레임워크 내에서 예제를 구성하고 검증하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ5 가장 중요한 것은, $ψ$-Hilfer 미분을 통해 광범위한 분수적 적분 및 미분의 통합된 클래스를 체계적으로 유도할 수 있는가?

주요 결과

• $ψ$-Hilfer 분수미분은 기저 함수 $ψ$ 를 도입함으로써 고전적 Hilfer 미분을 일반화하여, 기억성과 유전적 성질을 가진 복잡한 시스템에 대한 더 넓은 적용 가능성을 제공한다.
• 균등 수렴하는 함수 수열이 $ψ$-Hilfer 미분에 대해 확립되어 있어 분석적 안정성과 일관성을 보장한다.
• 프레임워크는 $ψ$-분수적 적분과 새로운 미분 연산자를 활용하여 광범위한 분수적 적분 및 미분의 클래스를 성공적으로 통합한다.
• 일파라미터 Mittag-Leffler 함수를 기반으로 한 예제들은 제안된 미분의 실용성과 분석적 취급 용이성을 입증한다.
• $ψ$-Hilfer 미분은 존재하는 분수미분 연산자의 범위를 확장하는 탄력적이고 체계적인 접근법을 제공한다.