[논문 리뷰] Operads, modules and topological field theories

Geoffroy Horel|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 작도의 대수 위의 모듈러 이론을 일반적으로 개발하며, 이러한 모듈러가 작도의 오른쪽 모듈러에 대한 결합 대수와 대응됨을 보여준다. 다양체와 경계로 구성된 카테고리의 모듈러에 대해 함의적이고 체계적인 기능을 구축함으로써, 코버디즘의 ∞-작도에서 ∞-카테고리의 ∞-작도로 가는 사상이 유도되며, 이는 _d-대수에 대한 인수화 호몰로지에 의한 위상적 장 이론을 실현한다.

ABSTRACT

In this paper, we describe a general theory of modules over an algebra over an operad. We also study functors between categories of modules. Specializing to the operad E_d of little d-dimensional disks, we show that each (d-1)-manifold gives rise to a theory of modules over E_d-algebras and each bordism gives rise to a functor from the category defined by its incoming boundary to the category defined by its outgoing boundary. We describe how to assemble these categories into a map from a certain operad to the operad of (infinity)-categories.

연구 동기 및 목표

• 주어진 작도 에 대한 대수 위의 모든 타당한 모듈러 이론의 분류를 하며, 그것들이 오른쪽 -모듈러의 결합 대수와 대응됨을 보여줌.
• 모델 카테고리와 단순 작도를 사용하여 카테고리의 모듈러에 대한 호모토피적으로 일관된 구조를 구축함.
• (d−1)-다양체와 _d-대수 위의 카테고리의 모듈러 사이, 경계로 구성된 사상과 그 사이의 함자들 사이의 대응을 수립함.
• 경계와 관련된 ∞-작도에서 ∞-카테고리의 ∞-작도로 가는 사상을 정의함으로써, 인수화 호몰로지에 의한 위상적 장 이론을 실현함.
• ∞-카테고리 대신 모델 카테고리 기법을 사용하여 루리의 _d-모노이드 성질에 대한 결과를 일반화함.

제안 방법

• 오른쪽 -모듈러에 대한 결합 대수를 객체로 가지며, 사상으로 이중 모듈러와 약한 동치를 포함하는 모티아 작도 or()를 도입함.
• 모델 카테고리의 단순 작도를 구성하여, 에서 이 작도로의 사상에 의해 -대수의 정의를 가능하게 함.
• 레즈의 네트워크 구성법을 사용하여 모델 카테고리에 완전한 세갈 공간을 부여함으로써 이론의 호모토피적 일관성을 확보함.
• -대수 위의 P-형 모듈러 카테고리에 모델 구조를 부여함으로써 호모토피 대수학에 적합한 환경를 제공함.
• 코버디즘 관련 ∞-작도 f̂{ob}_d에서 ∞-카테고리의 ∞-작도로 가는 함자를 정의함으로써 장 이론을 표현함.
• 이론을 _d-대수에 적용하여, (d−1)-다양체에 대해 모듈러 카테고리를, 경계로 구성된 사상에 대해 함자를 구성함. 이는 인수화 호몰로지 기반으로 수행됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 작도 에 대한 대수 위의 모듈러 이론의 완전한 분류는 무엇인가?
• RQ2 어떻게 하면 -대수 위의 모듈러 카테고리에 대해 호모토피적으로 일관된 모노이드 또는 작도적 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ3 인수화 호몰로지로 다각형의 카테고리와 경계로 구성된 사상에 대해 함자를 부여함으로써 위상적 장 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ4 모델 카테고리에서의 -대수 이론은 특히 _d-대수의 맥락에서 ∞-카테고리적 구성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 모티아 작도는 어떤 방식으로 모듈러의 형태와 관련된 함자를 조직화하는가?

주요 결과

• -대수 위의 모듈러는 오른쪽 -모듈러의 결합 대수로 분류되며, 각 대수는 고유한 '형태'의 모듈러를 정의함.
• -대수 A 위의 P-형 모듈러 카테고리는 잘 정의된 모델 구조를 갖추고 있어, 호모토피 분석에 적합함.
• (d−1)-다양체와 경계로 구성된 사상에 대해 모델 카테고리의 함의적 부여를 구축하였으며, 이는 합성과 호환됨.
• 결과적으로 f̂{ob}_d에서 ∞-카테고리의 ∞-작도로 가는 ∞-작도 사상이 되며, 이는 위상적 장 이론을 실현함.
• _d-대수의 경우 이 이론은 루리의 _d-모노이드 성질에 대한 결과를 회복하고 일반화함.
• 이 구성은 호모토피적으로 일관됨: 작도의 약한 동치는 모듈러 카테고리에서 퀼렌 동치를 유도함으로써, 호모토피에 대해 불변임을 보장함.