[논문 리뷰] Optimal distributed control of a nonlocal Cahn-Hilliard/Navier-Stokes system in 2D

Sergio Frigeri, Elisabetta Rocca외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 06.

Solidification and crystal growth phenomenaMaterials Science참고 문헌 22인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 비국소적 Cahn–Hilliard/Navier–Stokes 시스템에 대한 최적 분포 제어의 존재성을 확립하고, 비국소적 상호작용을 포함하는 비압축성 불미승성 유체에서의 상분리 현상을 모델링하는 2차원에서의 1차 필요 최적성 조건을 유도한다. 분석은 최근에 확립된 잘 정의된 결과에 기반하며, 수반 시스템과 변분부등식을 이용하여 투영 공식을 통해 최적 제어를 특성화한다.

ABSTRACT

We study a diffuse interface model for incompressible isothermal mixtures of two immiscible fluids coupling the Navier--Stokes system with a convective nonlocal Cahn--Hilliard equation in two dimensions of space. We apply recently proved well-posedness and regularity results in order to establish existence of optimal controls as well as first-order necessary optimality conditions for an associated optimal control problem in which a distributed control is applied to the fluid flow.

연구 동기 및 목표

• 비국소적 Cahn–Hilliard/Navier–Stokes 시스템에 대한 최적 분포 제어의 존재성을 2차원에서 확립한다.
• 유체 속도와 상 변수를 포함하는 분포 제어 문제에 대한 1차 필요 최적성 조건을 도출한다.
• 비국소적 상호작용을 가진 모델, 즉 장거리 분자력이 있는 상분리에 물리적으로 관련된 모델에 최적 제어 분석을 확장한다.
• 비국소적 Cahn–Hilliard 방정식과 $oldsymbol{ u}$-의존 점성도를 가진 확산 인터페이스 모델에 대한 최적 제어의 엄밀한 분석 프레임워크를 제공한다.
• 기존 연구들이 시간 이산화 또는 수치적 방법에 의존한 반면, 이 논문은 이 비국소적 시스템에 대해 시간 이산화 없이 완전한 분석을 제공함으로써 문헌의 격차를 메운다.

제안 방법

• 이 연구는 유한한 2차원 영역 내에서 나비에르-스톡스 방정식과 비국소적, 대류형 Cahn–Hilliard 방정식을 결합한 비국소적 Cahn–Hilliard/Navier–Stokes 시스템을 활용한다.
• 제어는 운동량 방정식에 분포력 $oldsymbol{v}$로 적용되며, 유체 속도장에 작용한다.
• 분석은 상태 시스템에 대한 최근에 확립된 잘 정의되고 정규성 결과에 기반하며, 강한 해의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 수반 시스템은 형식적 라그랑주 기법을 통해 유도되며, 속도와 상 변수에 각각 이중 변수 $oldsymbol{p}$와 $q$를 포함한다.
• 변분부등식을 사용하여 최적 제어를 특성화하고, 수반 상태와 제어 제약 조건을 포함하는 $L^2(Q)^2$에서의 투영 공식을 도출한다.
• 유도 과정은 부분적 적분, 커널 $K$의 대칭성, 그리고 적절한 함수 공간 내에서 경계 조건과 약한 공식화를 신중하게 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적 Cahn–Hilliard/Navier–Stokes 시스템에 대해 $oldsymbol{ u}$-의존 점성도를 가진 2차원에서 최적 분포 제어가 존재하는가?
• RQ2 이 최적 제어 문제에 대한 1차 필요 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ3 최적 제어는 수반 상태와 제어 제약 조건에 대해 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ4 비국소적 Cahn–Hilliard 방정식의 비국소적 성격이 시간 이산화 없이 최적 제어 프레임워크에 엄밀하게 통합될 수 있는가?
• RQ5 최적 제어는 허용 가능한 제어 집합 위에 투영 공식으로 특성화되는가? 이는 수치적 구현에 대해 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 논문은 2차원 비국소적 Cahn–Hilliard/Navier–Stokes 시스템에 대해 적어도 하나의 최적 제어가 존재함을 증명한다. 이는 허용 가능한 집합 $oldsymbol{v} o oldsymbol{v} ext{ in } L^2(Q)^2$ 내에서 성립한다.
• 1차 필요 최적성 조건은 수반 상태 $oldsymbol{p}$와 제어 차이 $oldsymbol{v} - oldsymbol{ar{v}}$를 포함하는 변분부등식의 형태로 도출된다.
• 최적 제어 $oldsymbol{ar{v}}$는 투영 공식 $oldsymbol{ar{v}} = ext{Proj}_{oldsymbol{ u}_{ad}}ig(-rac{1}{eta}oldsymbol{p}ig)$로 특성화된다. 여기서 $eta$는 양수인 매개변수이다.
• $eta > 0$일 경우, 최적 제어는 점별 투영 조건을 만족한다: $ar{v}_i(x,t) = ext{max}igrace{v_{a,i}(x,t), ext{min}igrace{-eta^{-1}p_i(x,t), v_{b,i}(x,t)}igraceigrace$ 거의 모든 점에서 $Q$ 내에서 성립한다.
• 커널 $K$의 대칭성을 통해 비국소 항 $K * ho$를 엄밀하게 다루었으며, 이는 수반 유도 과정에서 대칭적 부분적 적분을 가능하게 한다.
• 결과는 규칙적인 이중우물 잠재력 $F$에 대해 유효하며, 점성도 $ u( ho)$는 상 변수 $ ho$에 따라 변할 수 있어 물리적 현실성은 향상된다.