[논문 리뷰] Perverse $\mathbb{F}_p$-sheaves on the affine Grassmannian

Robert Cass|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 08.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 $p>0$에서 재구성된 군 $G$에 대해 아핀 그라스만이에서 $L^+G$-여러분 편향된 $\mathbb{F}_p$-층의 범주를 구성하고, 이 범주가 대칭 모노이드 범주임을 증명하며, Tannakian 형식론을 통해 애초의 모노이드 스킴의 표현 범주와의 동치를 설정한다. 핵심 결과는 모듈로 $p$의 Satake 동형사상의 역을 기하화한 것으로, 컨볼루션에 의한 IC 층의 성질이 간단하게 유지되고, 각 IC 층의 코homology는 $\mathbb{F}_p$ 위에서 일치하는 차원을 가진다. 이 작업은 아핀 슈부르트 다양체의 프로베누스 분할과 전역 $F$-정규성에 기반한다.

ABSTRACT

For a reductive group over an algebraically closed field of characteristic $p > 0$ we construct the abelian category of perverse $\mathbb{F}_p$-sheaves on the affine Grassmannian that are equivariant with respect to the action of the positive loop group. We show this is a symmetric monoidal category, and then we apply a Tannakian formalism to show this category is equivalent to the category of representations of a certain affine monoid scheme. We also show that our work provides a geometrization of the inverse of the mod $p$ Satake isomorphism. Along the way we prove that affine Schubert varieties are globally $F$-regular and we apply Frobenius splitting techniques to the theory of perverse $\mathbb{F}_p$-sheaves.

연구 동기 및 목표

• 아핀 그라스만이 $\operatorname{Gr}$에서 특성 $>0$에서 $L^+G$-여러분 편향된 $\mathbb{F}_p$-층의 범주를 정의하고 연구한다.
• 이 범주가 컨볼루션에 대해 대칭 모노이드 범주이며, 애초의 모노이드 스킴 $M_G$의 표현 범주로 Tannakian 재구성 가능함을 확립한다.
• 코homology 함자 $H = \bigoplus_i R^i\Gamma(-)$가 정확하고 충실하며, 대칭 모노이드 함자로 업그레이드되어 $\operatorname{Rep}_{\mathbb{F}_p}(M_G)$와의 동치를 이끌어낸다.
• Tannakian 함자와 IC 층의 코homology를 통해 모듈로 $p$의 Satake 동형사상의 역을 기하학적으로 실현한다.
• 아핀 슈부르트 다양체가 전역 $F$-정규임을 증명하고, 프로베누스 분할 기법을 사용하여 $\mathbb{F}_p$-편향된 층을 분석한다.

제안 방법

• 중간 편향 조건과 $\ell$-adic 층의 $\mathbb{F}_p$-구조를 사용하여 $\operatorname{Gr}$에서 편향된 $\mathbb{F}_p$-층을 정의한다.
• LG의 군적 성질과 헤이크 대수 작용을 이용하여 $P_{L^+G}(\operatorname{Gr}, \mathbb{F}_p)$에 컨볼루션 곱을 구성한다.
• 코homology 함자 $H = \bigoplus_i R^i\Gamma(-)$가 정확하고 충실하며, 범주의 모노이드적 구조를 활용하여 대칭 모노이드 함자로 업그레이드한다.
• 함자 $H$에 Tannakian 형식론을 적용하여 $H$의 자동사상군이 $\mathbb{F}_p$ 위의 애초의 모노이드 스킴 $M_G$에 의해 표현됨을 보인다.
• 프로베누스 분할 기법을 사용하여 아핀 슈부르트 다양체가 전역 $F$-정규임을 증명하고, 이는 $\mathbb{F}_p$-편향된 층의 순수성과 고차 코homology의 소멸을 보장한다.
• Tannakian 함자 $\mathcal{T}$를 $K_0$에서의 $\mathcal{S}^{-1}$와 비교하여 모듈로 $p$의 Satake 동형사상을 설정한다. 이때 허지의 공식을 사용하여 $\mathcal{S}^{-1}$를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $>0$에서 아핀 그라스만이에서 잘 정의된 $L^+G$-여러분 편향된 $\mathbb{F}_p$-층의 범주를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 이러한 층의 범주는 컨볼루션에 대해 대칭 모노이드 범주인가? 그리고 Tannakian 형식론으로 재구성 가능한가?
• RQ3 아핀 슈부르트 다양체에서 IC 층의 코homology는 $\mathbb{F}_p$ 위에서 여전히 일치하는 차원을 가지는가? 이는 범주의 구조에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 Tannakian 함자에 의한 편향된 $\mathbb{F}_p$-층에서 모듈로 $p$의 Satake 동형사상의 역을 기하학적으로 실현할 수 있는가?
• RQ5 아핀 슈부르트 다양체는 어떤 특이성을 가지며, 프로베누스 분할 기법은 $\mathbb{F}_p$-편향된 층을 분석하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 컨볼루션에 대해 $L^+G$-여러분 편향된 $\mathbb{F}_p$-층의 범주 $P_{L^+G}(\operatorname{Gr}, \mathbb{F}_p)$는 대칭 모노이드 범주이다.
• 코homology 함자 $H = \bigoplus_i R^i\Gamma(-)$는 정확하고 충실하며, 대칭 모노이드 함자로 작용하여 $\operatorname{Rep}_{\mathbb{F}_p}(M_G)$와의 동치 $P_{L^+G}(\operatorname{Gr}, \mathbb{F}_p) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Rep}_{\mathbb{F}_p}(M_G)$를 이끌어낸다.
• IC 층의 컨볼루션은 $\operatorname{IC}_{\mu_1} * \operatorname{IC}_{\mu_2} = \operatorname{IC}_{\mu_1 + \mu_2}$를 만족하여 단순 객체들의 곱이 여전히 단순함을 보여준다.
• 모든 근본 공차 $\mu$에 대해 $H(\operatorname{IC}_\mu)$의 $\mathbb{F}_p$-차원은 정확히 1이다. 즉, $\dim_{\mathbb{F}_p} H(\operatorname{IC}_\mu) = 1$이다.
• 아핀 슈부르트 다양체 $\operatorname{Gr}_{\leq \mu}$는 전역 $F$-정규이며, 이는 $\mathbb{F}_p$-편향된 층의 코homology와 순수성을 제어하는 데 핵심적인 성질이다.
• Tannakian 함자 $\mathcal{T}$는 $K_0(P_{L^+G}(\operatorname{Gr}, \mathbb{F}_p)) \otimes \mathbb{F}_p$에서 $\mathcal{S}^{-1}$와 일치한다. 따라서 역 Satake 사상의 기하화가 이루어진다.