[논문 리뷰] Preparation of matrix product states with log-depth quantum circuits

Daniel Malz, Georgios Styliaris외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 04.

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 로그 깊이의 양자 회로를 사용하여 이동 불변 성질을 가진 행렬 곱 상태(MPS)를 준비하기 위한 최적의 양자 회로 프로토콜을 제시한다. 유도성 군(RG) 변환과 등급 회로를 활용하여 일반적인 MPS의 경우 깊이 T = O(log(N/ϵ))를 달성하고, 측정을 통한 보조를 받을 경우 T = O(log log(N/ϵ))를 달성한다. 이는 T = Ω(log N)의 하한을 증명하며, 유니터리 및 측정 보조 프로토콜 모두에 대해 渐近 최적성을 입증한다.

ABSTRACT

We consider the preparation of matrix product states (MPS) on quantum devices via quantum circuits of local gates. We first prove that faithfully preparing translation-invariant normal MPS of $N$ sites requires a circuit depth $T=Ω(\log N)$. We then introduce an algorithm based on the renormalization-group transformation to prepare normal MPS with an error $ε$ in depth $T=O(\log (N/ε))$, which is optimal. We also show that measurement and feedback leads to an exponential speedup of the algorithm, to $T=O(\log\log (N/ε))$. Measurements also allow one to prepare arbitrary translation-invariant MPS, including long-range non-normal ones, in the same depth. Finally, the algorithm naturally extends to inhomogeneous MPS.

연구 동기 및 목표

• 이동 불변 성질을 가진 일반적인 행렬 곱 상태(MPS)를 준비하기 위해 필요한 회로 깊이의 날카로운 하한을 확립하기 위해.
• 엄밀히 국소 게이트만을 사용하여 이 하한을 충족하는 양자 회로 프로토콜을 개발하기 위해.
• 측정과 피드백을 활용하여 비균일성 및 비정규 MPS에 대한 프로토콜을 확장하기 위해.
• 측정 보조 회로가 임의의 이동 불변 MPS를 지수적으로 더 빠르게 준비할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 블록 단위로 사이트를 묶고, 오직 근접한 이웃 사이의 얽힘만을 가진 固定点 상태로 수렴하는 반복적인 유도성 군(RG) 변환을 사용한다.
• MPS의 국소적 구조를 인코딩하는 등급 회로를 구성하고, 이들이 깊이 O(log(N/ϵ))의 엄밀히 국소적인 양자 회로로 실행 가능하다는 것을 증명한다.
• 환경 연산자의 특이값 분해를 활용한 국소 변분 알고리즘을 통해 등급 회로를 최적화하여 목표 상태와의 허용도를 극대화한다.
• 측정과 피드백을 통합하여 고정점 상태와 등급 회로를 일정 깊이에서 실행함으로써 지수적 속도 향상을 가능하게 한다.
• 비균일성 MPS에 대한 프로토콜을 지역적 정규형에 동일한 RG 및 등급 회로 구성법을 적용하여 확장한다.
• 게이트 텔레포테이션을 사용하여 측정 기반 설계에서 비국소적 등급 회로를 효율적으로 실행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 양자 게이트만을 사용하여 이동 불변 성질을 가진 일반적인 행렬 곱 상태(MPS)를 충실하게 준비하기 위해 필요한 최소 회로 깊이는 얼마인가?
• RQ2 국소 게이트만을 사용하여 일반적인 MPS를 깊이 O(log(N/ϵ))로 준비할 수 있으며, 이 깊이가 최적인지 여쭤보기 위해.
• RQ3 측정과 피드백에의 접근이 일반적 및 비정규 MPS 준비의 회로 깊이에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 제안된 프로토콜을 단거리 상관관계를 가진 비균일성 MPS로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 국소 양자 회로를 사용하여 이동 불변 성질을 가진 일반적인 MPS를 준비하기 위해 T = Ω(log N)의 하한을 확립하여, 로그 깊이가 필수적임을 입증한다.
• 명시적인 양자 회로 구성은 오직 국소 게이트만을 사용하여 일반적인 MPS를 깊이 T = O(log(N/ϵ))로 준비하며, 이는 하한을 충족하고 渐近 최적성을 입증한다.
• 측정과 피드백을 통한 보조를 받을 경우, 회로 깊이는 T = O(log log(N/ϵ))로 감소하여, 임의의 이동 불변 MPS, 특히 장거리 상관관계를 가진 상태의 준비를 지수적으로 더 빠르게 가능하게 한다.
• 비균일성 MPS에 대한 프로토콜은 국소 변분 최적화를 통한 등급 회로의 최적화를 유지함으로써 효율적인 깊이 스케일링을 유지하며 자연스럽게 확장된다.
• 유한 범위 MERA가 O(log log(N/ϵ)) 층으로 정규 이동 불변 MPS를 근사할 수 있음을 보여주며, MERA와 MPS 준비 간의 새로운 연결 고리를 확립한다.
• 수치적 결과는 블록 범위에 따라 오차가 지수적으로 감소하는 것을 확인하여, RG 기반 근사와 등급 회로 구성의 효율성을 뒷받침한다.