[논문 리뷰] Quadratization in discrete optimization and quantum mechanics

Nike Dattani|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 14.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 63인용 수 15

한 줄 요약

이 오픈 액세스 도서는 양자 어닐링과 보편적인 아디아바틱 양자 계산에 필수적인 고차수 이산 최적화 문제를 이차형으로 변환하는 40개 이상의 2차화 방법을 종합적으로 검토한다. 이는 보조 변수가 없는, 단일 항, 다중 항 감소 기법으로 체계적으로 분류되며, 임의의 $k$차수의 의사부울 함수가 최소한의 보조 변수를 사용해 등가의 이차 해밀토니안으로 매핑될 수 있음을 보여주며, 이는 양자 또는 고전적 해법을 통해 효율적으로 해결할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

A book about turning high-degree optimization problems into quadratic optimization problems that maintain the same global minimum (ground state). This book explores quadratizations for pseudo-Boolean optimization, perturbative gadgets used in QMA completeness theorems, and also non-perturbative k-local to 2-local transformations used for quantum mechanics, quantum annealing and universal adiabatic quantum computing. The book contains ~70 different Hamiltonian transformations, each of them on a separate page, where the cost (in number of auxiliary binary variables or auxiliary qubits, or number of sub-modular terms, or in graph connectivity, etc.), pros, cons, examples, and references are given. One can therefore look up a quadratization appropriate for the specific term(s) that need to be quadratized, much like using an integral table to look up the integral that needs to be done. This book is therefore useful for writing compilers to transform general optimization problems, into a form that quantum annealing or universal adiabatic quantum computing hardware requires; or for transforming quantum chemistry problems written in the Jordan-Wigner or Bravyi-Kitaev form, into a form where all multi-qubit interactions become 2-qubit pairwise interactions, without changing the desired ground state. Applications cited include computer vision problems (e.g. image de-noising, un-blurring, etc.), number theory (e.g. integer factoring), graph theory (e.g. Ramsey number determination), and quantum chemistry. The book is open source, and anyone can make modifications here: https://github.com/HPQC-LABS/Book_About_Quadratization.

연구 동기 및 목표

• 고전적 이산 최적화와 양자 계산에 적용 가능한 통합적이고 오픈소스 기반의 2차화 기법 참조 자료를 제공하는 것.
• 고차수 다항식 최적화 문제를 해결하는 데 도전하며, 이를 더 양자 어닐링과 고전적 해법에 적합한 이차형으로 감소시키는 것.
• 보조 변수 사용 여부, 대칭성, 양/음의 항 또는 다중 항에 대한 적용 가능성 기반으로 40개 이상의 2차화 방법을 분류하고 비교하는 것.
• 특히 대칭 함수 및 부분선형 함수에 대해 2차화 기법의 하한값과 최적성 기준을 설정하는 것.
• 보조 변수 수를 최소화하고 기저 상태의 등가성을 유지함으로써 양자 하드웨어(예: D-Wave) 및 보편적 양자 계산에 대한 실용적 구현을 지원하는 것.

제안 방법

• 보조 변수가 없는 감소, 단일 항 감소(양성 및 음성), 대칭 다중항 감소, 임의의 함수 감소, 펌터바티브 기반 가드지로 구성된 다섯 가지 주요 범주로 2차화 방법을 분류한다.
• 그로브너 기저, 정확한 선형화 조건(ELC), 추론 감소(Deduc-reduc)와 같은 대수 기법을 사용해 보조 변수를 도입하지 않고 고차항을 제거한다.
• NTR(음성 항 감소) 및 PTR(양성 항 감소) 기반의 보조 변수 감소 기법(예: NTR-KZFD, NTR-ABCG, PTR-BCR)을 적용해 삼차 이상 항을 이차형으로 변환한다.
• 공유 보조 변수를 사용해 다중 항을 동시에 2차화하는 대칭 함수 감소(SFR) 및 임의의 함수 감소(예: FGBZ, 쌍별 커버)를 도입한다.
• 저에너지 부분공간에서 효과 해밀토니안을 통해 고차 상호작용을 이차 해밀토니안에 통합하는 펌터바티브 및 비펌터바티브 가드지(예: P(3→2)-DC, NP-Nagaj)를 활용한다.
• 삼진수 변수에서 이진 변수로의 변환 및 회로 수준의 매핑을 적용해 초전도 큐비트 아키텍처에서의 실행 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한의 보조 변수를 사용해 의사부울 함수 내 단일 음성 또는 양성 고차항을 2차화하는 가장 효율적인 방법은 무엇인가?
• RQ2 대칭 다중항 감소 기법이 다수의 고차항을 포함한 함수에서 최적 또는 근접 최적의 보조 변수 수를 달성할 수 있는가?
• RQ3 다양한 2차화 방법 간 보조 변수 수, 계산 복잡도, 양자 어닐링 하드웨어 적용 가능성 측면에서의 비교는 어떻게 이루어지는가?
• RQ4 임의의 함수, 특히 d-부분선형 및 ZUC(영유용성 제약) 함수의 2차화에 필요한 보조 변수 수에 대한 이론적 하한은 무엇인가?
• RQ5 펌터바티브 가드지 또는 비펌터바티브 가드지는 보편적인 아디아바틱 양자 계산을 위한 이차 해밀토니안에서 고차 상호작용을 얼마나 잘 모방할 수 있는가?

주요 결과

• Deduc-Reduc 및 Split-Reduc 방법은 보조 변수를 전혀 도입하지 않아도 되므로, 특정 함수 유형에 대해 최적임을 입증한다.
• NTR-ABCG 및 PTR-BCR 가족의 감소 기법은 최소한의 보조 큐비트를 사용해 단일 양성 또는 음성 삼차항을 체계적이고 확장 가능한 방식으로 2차화할 수 있다.
• 대칭 함수 감소(SFR) 및 쌍별 커버 방법은 다수의 항이 공통 변수를 공유할 경우 보조 변수 수를 크게 감소시키며, 근사 최적의 스케일링을 달성한다.
• SFR 및 d-부분선형 함수에 대한 하한값 분석을 통해 일부 감소 기법이 이론적으로 최적임을 입증하였으며, Boros, Crama, 및 Rodríguez-Heck는 특정 함수 유형에 대해 날카로운 하한값을 확립하였다.
• P(3→2)-DC 및 PSD-OT와 같은 펌터바티브 가드지는 에너지 수준 분할을 통해 삼차 이상 상호작용을 이차 해밀토니안에 통합함으로써 보편적 양자 계산을 가능하게 한다.
• 이 책은 임의의 $k$차수 함수가 유한한 수의 보조 변수를 사용해 등가의 이차형으로 매핑될 수 있음을 보여주며, 기저 상태를 유지하고 양자 또는 고전적 이차형 해법을 통해 해결 가능함을 입증한다.