[논문 리뷰] Quantum adiabatic optimization without heuristics

Michael Jarret, Brad Lackey외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럴 갭에 대한 사전 지식 없이도 최적의 앤날링 경로와 런타임을 자동으로 결정하는 비히어리스티크한 양자 아디아바틱 최적화 알고리즘을 제시한다. 갭 오라클을 사용해 스케줄을 동적으로 조정함으로써, 높은 성공 확률로 $\widetilde{\mathcal{O}}(\epsilon^{-1}[\sqrt{|\mathcal{V}|} + (\kappa-1)^{2/3}|\mathcal{V}|^{2/3}])$의 런타임을 달성하며, 스펙트럴 비율 $\kappa \approx 1$일 경우 그로버 유사 속도 향상을 회복한다. 이 방법은 엄밀하며 적응형이며, 시간 파rameter나 경로에 대한 히어리스틱 조정을 피한다.

ABSTRACT

Quantum adiabatic optimization (QAO) is performed using a time-dependent Hamiltonian $H(s)$ with spectral gap $γ(s)$. Assuming the existence of an oracle $Γ$ such that $γ_\min = Θ\left(\min_sΓ(s) ight)$, we provide an algorithm that reliably performs QAO in time $O\left(γ_\min^{-1} ight)$ with $O\left(\log(γ_\min^{-1}) ight)$ oracle queries, where $γ_\min = \min_s γ(s)$. Our strategy is not heuristic and does not require guessing time parameters or annealing paths. Rather, our algorithm naturally produces an annealing path such that $\|dH/ds\| \approx γ(s)$ and chooses its own runtime to be as close as possible to optimal while promising convergence to the ground state. We then demonstrate the feasibility of this approach in practice by explicitly constructing a gap oracle $Γ$ for the problem of finding the minimum point $m = \mathrm{argmin}_u W(u)$ of the cost function $W:\mathcal{V}\longrightarrow [0,1]$, restricting ourselves to computational basis measurements and driving Hamiltonian $H(0)=I - |\mathcal{V}|^{-1}\sum_{u,v \in \mathcal{V}}\vert{u} angle\langle{v}\vert$. Requiring only that $W$ have a constant lower bound on its spectral gap and upper bound $κ$ on its spectral ratio, our QAO algorithm returns $m$ with probability $(1-ε)(1-e^{-1/ε})$ in time $\widetilde{\mathcal{O}}(ε^{-1}[\sqrt{|\mathcal{V}|} + (κ-1)^{2/3}|\mathcal{V}|^{2/3}])$. This achieves a quantum advantage for all $κ$, and recovers Grover scaling up to logarithmic factors when $κ\approx 1$. We implement the algorithm as a subroutine in an optimization procedure that produces $m$ with exponentially small failure probability and expected runtime $\widetilde{\mathcal{O}}(ε^{-1}[\sqrt{|\mathcal{V}|} + (κ-1)^{2/3}|\mathcal{V}|^{2/3}])$ even when $κ$ is not known beforehand.

연구 동기 및 목표

• 시간 파rameter나 앤날링 경로에 대한 추측에 의존하지 않는 엄밀하고 비히어리스틱한 양자 아디아바틱 최적화 프레임워크를 개발하는 것.
• 해석적 경계가 일반적으로 불가능한 아디아바틱 양자 알고리즘에서 스펙트럴 갭 추정이라는 오랜 도전 과제를 해결하는 것.
• 실시간으로 갭 오라클의 피드백에 기반해 앤날링 경로와 런타임을 적응적으로 구성하는 알고리즘을 설계하여, 지구 상태로의 수렴을 보장하는 것.
• 완전 그래프에서 스펙트럴 비율 $\kappa$가 유계일 때 최소값 찾기 문제에 대해 명시적인 갭 오라클을 구성함으로써 실용적 타당성을 입증하는 것.
• 스펙트럴 비율 $\kappa$가 사전에 알려지지 않은 경우에도 최적화 문제에서 양자 속도 향상을 달성하고, 실패 확률이 지수적으로 작고 런타임이 거의 최적화된 상태를 유지하는 것.

제안 방법

• 이 알고리즘은 '무심한 아디아바틱 알고리즘'(Bashful Adiabatic Algorithm, BAA)으로, $\gamma(s) = \Theta(\Gamma(s))$를 만족하는 갭 오라클 $\Gamma(s)$를 사용한다. 여기서 $\gamma(s)$는 시간에 따라 변하는 해밀토니안 $H(s)$의 스펙트럴 갭이다.
• 스케줄을 동적으로 구성함으로써 $\|dH/ds\| \approx \gamma(s)$를 확보함으로써, 국소 갭 크기와 변화율 사이의 자연스러운 균형을 이루게 한다.
• 최소 갭을 찾기 위해 FindRoot 함수를 사용하고, 갭 오라클의 피드백에 기반해 최적의 런타임을 결정하기 위해 FinishSchedule 함수를 활용한다.
• 완전 그래프에서 스펙트럼 그래프 이론을 적용하여 체이저 상수 $h_{\{m\}}$에 대한 경계를 유도함으로써, 스펙트럴 갭과의 관계를 설정하고 갭 오라클의 구성 가능성을 보장한다.
• 수렴 확률을 높이기 위해 페르튜브레이션 경계와 양자 아디아바틱 정리의 변형을 활용한다.
• 스펙트럴 비율 $\kappa$가 알려지지 않은 경우에도 반복적으로 오라클을 활용해 스케줄을 정밀화함으로써, 실패 확률을 지수적으로 작게 유지하는 최적화 서브루틴을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 파rameter나 앤날링 경로에 대한 히어리스틱 선택에 의존하지 않는 양자 아디아바틱 최적화 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 완전 그래프에서 스펙트럴 비율 $\kappa$가 유계일 때 최소값 찾기 문제에 대해 갭 오라클을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 스펙트럴 갭이 알려지지 않았지만 오라클을 통해 유계일 경우, 비히어리스틱 아디아바틱 알고리즘의 최적 런타임 스케일링은 무엇인가?
• RQ4 스펙트럴 비율 $\kappa \approx 1$일 경우, 알고리즘이 로그 요소를 제외한 그로버 유사 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ5 고확률로 지구 상태로 수렴하고 최소한의 런타임을 보장하는 적응형·자기조절 가능한 아디아바틱 알고리즘을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 $\widetilde{\mathcal{O}}(\epsilon^{-1}[\sqrt{|\mathcal{V}|} + (\kappa-1)^{2/3}|\mathcal{V}|^{2/3}])$의 런타임을 달성하여 최소점 $m$을 확률 $(1-\epsilon)(1-e^{-1/\epsilon})$로 찾으며, 모든 $\kappa$에 대해 양자 우월성을 입증한다.
• 스펙트럴 비율 $\kappa \approx 1$일 경우, 런타임은 로그 요소를 제외한 그로버 스케일링을 회복하여 비구조적 검색 문제에서 최적의 양자 속도 향상을 달성한다.
• 알고리즘은 고확률로 지구 상태로 수렴하며, $\kappa$가 알려지지 않은 경우에도 실패 확률을 지수적으로 작게 유지할 수 있도록 조정 가능하다.
• 갭 오라클 $\Gamma(s)$는 완전 그래프에서 스펙트럼 그래프 이론을 활용해 명시적으로 구성되며, 체이저 부등식과 체이저 상수 $h_{\{m\}}$에 대한 경계를 활용한다.
• 알고리즘의 런타임은 $\mathcal{O}(\gamma_{\min}^{-1})$이며, $\mathcal{O}(\log(\gamma_{\min}^{-1}))$의 오라클 쿼리 수를 요구한다. 여기서 $\gamma_{\min} = \min_s \gamma(s)$이며, 이는 거의 최적임을 보여준다.
• 히어리스틱 경로 선택을 피하고, 대신 $\|dH/ds\| \approx \gamma(s)$가 되도록 동적으로 앤날링 경로를 생성함으로써, 진화 속도와 아디아바티시티 사이의 최적 균형을 확보한다.