[논문 리뷰] Quasistatic crack growth in finite elasticity

Gianni Dal Maso, Gilles A. Francfort외 1명|ArXiv.org|2004. 01. 16.

Composite Material MechanicsEngineering참고 문헌 23인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 에너지 최소화 기반의 변분 모델을 사용하여 n차원 유한 탄성에서 비정적 균열 성장의 존재성을 확립한다. 여기서 균열 경로는 에너지 균형에 의해 자연스럽게 도출된다. 주요 기여는 임의의 n ≥ 1에 대해 시간에 따라 변화하는 경계 조건과 준복합성 부피 에너지를 갖는 경우에도 최소 에너지 구성의 비가역적 진화에 대한 엄밀한 존재 결과를 제시하는 것이다. 이 결과는 일반적인 비균질성 및 이방성 재료에 대해 유효하다.

ABSTRACT

In this paper, we prove a new existence result for a variational model of crack growth in brittle materials proposed in [15]. We consider the case of $n$-dimensional finite elasticity, for an arbitrary $n\ge1$, with a quasiconvex bulk energy and with prescribed boundary deformations and applied loads, both depending on time.

연구 동기 및 목표

• 에너지 균형에 의해 지배되는 취약 재료에서 비정적 균열 성장을 위한 엄밀한 수학적 프레임워크를 확립하는 것.
• 일반적인 준복합성 부피 에너지를 갖는 n차원 유한 탄성으로 균열 전파의 변분 모델을 확장하는 것.
• 시간에 따라 변화하는 경계 조건과 적용된 하중 조건 하에서 최소 에너지 구성의 비가역적 비정적 진화의 존재를 증명하는 것.
• 균열 표면 에너지 밀도가 위치와 법선 방향에 따라 달라지도록 허용하여 일반적인 비균질성 및 이방성 재료를 다루는 것.
• 불연속성 변형과 변화하는 균열 내에 포함된 절단 집합을 수용할 수 있는 GSBV 공간에서의 기능적 설정을 개발하는 것.

제안 방법

• 불연속성이 코드미니터리-일 집합에 존재하는 변형을 모델링하기 위해 일반화된 유계 변동 함수 공간(GSBV)에서 문제를 수립한다.
• 전체 에너지를 탄성 에너지, 균열 표면 에너지, 그리고 적용된 하중에 의해 수행된 음의 일의 합으로 정의하며, 균열 표면 에너지는 비균질성 및 이방성 밀도 κ를 갖는 균열에 대한 적분으로 주어진다.
• 저장 에너지 함수 W(x,ξ)의 준복합성 조건을 사용하여 탄성 에너지 함수의 하방 연속성을 확보한다.
• 시간에 따라 변화하는 경계 조건과 적용된 하중을 보존력에 의해 모델링하며, 정규성 및 성장 조건을 만족하는 작업 함수수 F(t,x,u) 및 G(t,x,u)를 사용한다.
• 허용 가능한 구성은 u의 절단 집합 S(u) ⊆ Γ를 만족하고, ∂DΩ \ Γ에서 시간에 따라 변화하는 딜리클레 경계 조건을 만족하는 쌍 (u, Γ)로 정의한다.
• 최소 에너지 구성은 더 큰 균열과 호환되는 변형에 대해 전체 에너지를 최소화하는 것으로 정의되며, 그린의 기준을 통한 에너지 균형을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 준복합성 에너지와 시간에 따라 변화하는 하중 조건을 갖는 n차원 유한 탄성에서 비정적 균열 성장의 변분 모델을 엄밀히 확립할 수 있는가?
• RQ2 사전에 정의된 경로 없이 에너지 최소화를 통해 균열 경로를 내재적으로 결정할 수 있는가?
• RQ3 유한 탄성에서 불연속성 변형과 변화하는 균열을 다루기 위한 적절한 기능적 해석적 프레임워크는 무엇인가?
• RQ4 에너지 밀도와 적용된 하중에 어떤 조건이 성립할 경우 최소 에너지 구성의 비가역적 비정적 진화가 존재하는가?
• RQ5 위치 및 방향에 따라 달라지는 균열 표면 에너지를 통해 모델이 비균질성 및 이방성 재료를 어떻게 수용할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 n ≥ 1에 대해 n차원 유한 탄성에서 최소 에너지 구성의 비가역적 비정적 진화의 존재를 증명한다.
• 이 존재 결과는 일반적인 가정 조건 하에서 성립한다: 부피 에너지 W(x,ξ)의 준복합성 조건, 그리고 적용된 하중과 균열 표면 에너지 κ에 대한 적절한 성장 및 정규성 조건.
• 균열 경로는 사전에 정의되지 않고 해의 일부로 도출되며, (n−1)-하우스도르프 측도가 유한한 정칙 집합으로서 시간에 따라 변화하는 균열 집합 Γ(t)로 표현된다.
• 균열 표면 에너지 기능이 위치 x와 법선 νΓ(x)에 따라 달라지도록 허용함으로써 비균질성 및 이방성 재료를 모델에 통합할 수 있다.
• GSBV(Ω;ℝⁿ) 공간에서의 기능적 설정은 변형이 거의 모든 곳에서 잘 정의되어 있으며, 절단 집합이 변화하는 균열 내에 포함되어 있음을 보장한다.
• 존재 결과는 시간에 따라 변화하는 경계 조건과 보존력에 의한 체력 및 표면력에 대해 강건하며, 하중에 의해 수행된 일은 도메인과 경계에 대한 적절한 정규성 조건을 갖는 적분을 통해 모델링된다.