[논문 리뷰] Relaxed Dual Optimal Inequalities for Relaxed Columns: with Application to Vehicle Routing

Naveed Haghani, Claudio Contardo외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 11.

Vehicle Routing Optimization Methods참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ng-route 허용을 사용하는 용량 제약이 있는 차량 경로 문제에서의 컬럼 생성에 특화된 이완된 이중 최적 부등식(SF-DOI)을 소개한다. 부드럽고 민감한 DOI를 이완된 컬럼에 적응시켜, LP 이완을 약화시키지 않은 채 수렴 속도를 높이며, 기준 인스턴스에서 최대 1.6배의 속도 향상을 달성한다. 최적성은 유지된다.

ABSTRACT

We address the problem of accelerating column generation for set cover problems in which we relax the state space of the columns to do efficient pricing. We achieve this by adapting the recently introduced smooth and flexible dual optimal inequalities (DOI) for use with relaxed columns. Smooth DOI exploit the observation that similar items are nearly fungible, and hence should be associated with similarly valued dual variables. Flexible DOI exploit the observation that the change in cost of a column induced by removing an item can be bounded. We adapt these DOI to the problem of capacitated vehicle routing in the context of ng-route relaxations. We demonstrate significant speed ups on a benchmark data set, while provably not weakening the relaxation.

연구 동기 및 목표

• 용량 제약이 있는 차량 경로 문제에서 이완된 컬럼을 포함한 집합 커버링 설정에서 컬럼 생성의 가속화 문제를 해결한다.
• 스무스하고 유연한 DOI(SF-DOI) 프레임워크를 이완된 컬럼, 예를 들어 반복적인 고객 방문을 허용하는 ng-routes와 같은 컬럼에 확장한다.
• 대규모 차량 경로 문제에서 컬럼 생성의 해소 시간을 크게 줄이면서도 LP 이완의 날카움을 유지한다.
• 최종 해의 최적성에 영향을 주지 않으면서 DOI가 이완된 가격 설정 문제에 효과적으로 적용될 수 있음을 입증한다.

제안 방법

• 공간적으로나 수요가 유사한 고객에게 유사한 이중 값을 부여하는 스무스 DOI(S-DOI) 프레임워크를 ng-routes에 적응시킨다.
• 고객을 경로에서 제거할 때 비용 변화를 제한하는 민감한 DOI(F-DOI)를 도입하여 더 날카운 이중 경계를 가능하게 한다.
• S-DOI와 F-DOI를 통합하여 ng-route 설정에서 이완된 컬럼에 적용 가능한 통합 SF-DOI 프레임워크를 구성한다.
• 가격 설정 하위문제에 DOI를 적용하여 이중 공간을 제약 조건으로 설정함으로써, 최적 해를 변경하지 않은 채 탐색 영역을 축소한다.
• 기본 해가 무한대가 되는 것을 방지하기 위해 종료 시 활성 DOI를 동적으로 제거하는 메커니즘을 구현한다.
• 비원소 경로를 允허하면서 국소적 짧은 사이클을 금지함으로써, ng-route 허용을 통해 가격 설정 문제의 타당성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스무스하고 민감한 이중 최적 부등식(DOI)은 컬럼 생성에서 이완된 컬럼과 효과적으로 통합될 수 있는가?
• RQ2 차량 경로 문제의 ng-route 허용에 SF-DOI를 적용할 경우, LP 이완을 약화시키지 않고도 수렴 속도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 S-DOI와 F-DOI가 개별적으로나 함께 적용되었을 때, 기준 CVRP 인스턴스에서 컬럼 생성의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 종료 시 활성 DOI 제거가 수렴과 해 품질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 DOI는 ng-routes와 같은 비원소 경로 허용에 적용될 수 있으며, 이중 경계의 날카움을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• SF-DOI 프레임워크는 46개의 기준 CVRP 인스턴스에서 평균 20%의 속도 향상을 달성했으며, S-DOI만으로도 46개 중 44개의 인스턴스에서 속도 향상을 보였다.
• SF-DOI는 46개 인스턴스 중 21개에서 S-DOI를 초월하여 성능을 높였으며, 이는 S-DOI와 함께 F-DOI가 가속화에 의미 있는 기여를 한다는 것을 시사한다.
• F-DOI만으로는 평균 속도 향상이 발생하지 않았지만, S-DOI와 통합되었을 때 복잡한 인스턴스에서 성능 향상이 뚜렷하게 나타났다.
• 기본 해가 무한대가 되는 것을 방지하기 위해 종료 시 DOI 제거가 46개 인스턴스 중 42개에서 필요로 하였으며, 이는 수렴 안정성 향상에 기여한다는 것을 보여준다.
• DOI로 인해 어떤 인스턴스에서도 기본 해가 무한대가 되지 않았으며, 이는 방법이 수치적 안정성을 유지한다는 것을 확인한다.
• SF-DOI는 LP 이완의 날카움을 유지하였으며, 이는 수렴 속도 향상과 함께 이완을 약화시키지 않는다는 것을 의미한다.