[논문 리뷰] Sampling Error Analysis in Quantum Krylov Subspace Diagonalization

Gwonhak Lee, Dongkeun Lee외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 30.

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 NISQ 시대의 유한한 측정 샘플 수로 인한 샘플링 오차를 분석하기 위한 비점근 이론적 프레임워크를 제안한다. 이 프레임워크는 유한한 측정 샷 수가 행렬 원소에 가우시안 노이즈를 유도하고, 이로 인해 일반화된 고유값 문제(GEVP)가 교란된다는 점을 보여준다. 낮은 특이값으로 인한 불안정성 문제를 완화하기 위해 최적의 절단 임계값을 도입하였으며, 1D 허브 모델에 대한 수치적 검증을 통해 오차 한계가 잘 조절된 영역에서 실험적 샘플링 오차를 정확히 예측함을 확인하였다.

ABSTRACT

Quantum Krylov subspace diagonalization (QKSD) is an emerging method used in place of quantum phase estimation in the early fault-tolerant era, where limited quantum circuit depth is available. In contrast to the classical Krylov subspace diagonalization (KSD) or the Lanczos method, QKSD exploits the quantum computer to efficiently estimate the eigenvalues of large-size Hamiltonians through a faster Krylov projection. However, unlike classical KSD, which is solely concerned with machine precision, QKSD is inherently accompanied by errors originating from a finite number of samples. Moreover, due to difficulty establishing an artificial orthogonal basis, ill-conditioning problems are often encountered, rendering the solution vulnerable to noise. In this work, we present a nonasymptotic theoretical framework to assess the relationship between sampling noise and its effects on eigenvalues. We also propose an optimal solution to cope with large condition numbers by eliminating the ill-conditioned bases. Numerical simulations of the one-dimensional Hubbard model demonstrate that the error bound of finite samplings accurately predicts the experimental errors in well-conditioned regions.

연구 동기 및 목표

• NISQ 시대의 양자 회로 측정에서 기인하는 유한한 측정 샷 수로 인한 샘플링 노이즈 문제를 해결하고자 한다.
• 유한한 샘플링이 Krylov 부분공간 내 일반화된 고유값 문제(GEVP)의 고유값 추정 정확도에 미치는 영향을 분석하고자 한다.
• QKSD 결과에 대한 샘플링 노이즈의 영향을 정량화하는 강력한 비점근 오차 분석 프레임워크를 개발하고자 한다.
• 불안정한 기저 벡터를 제거하여 수치적 안정성을 향상시키는 최적의 절단 전략을 제안하고 그 타당성을 입증하고자 한다.

제안 방법

• 헤르마드 테스트에서의 샘플링 오차를 평균이 0인 가우시안 노이즈로 모델링하며, 이의 분산은 측정 샷 수의 역제곱근으로 제한된다.
• Krylov 부분공간의 토플리츠 및 비토플리츠 구성 방식에 대해 편향 행렬의 스펙트럴 노름에 대한 비점근 상한을 유도한다.
• 교차 행렬의 특이값 기반 절단 임계값을 도입하여 불안정한 기저 벡터를 제거하고 오차 전파를 줄인다.
• 프레셰 노름과 삼각 부등식을 사용하여 투영된 해밀토니안 행렬의 총 오차를 상한으로 제시하며, 교환 오차와 샘플링 오차 성분을 분리한다.
• 편향 행렬의 스펙트럴 노름에 대한 점근적 조건(식 117)을 유도하여, 토플리츠 구성 방식이 비토플리츠 방식보다 오차 감소 측면에서 더 우수한 조건을 도출한다.
• 노이즈 없는 양자 회로 가정 하에 1D 페르미-허브 모델의 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 오차 한계를 검증한다.

Figure 1: QKSD algorithm involves a quantum part carrying out the projection from the full Hilbert space to the Krylov subspace and a classical part solving the corresponding GEVP. Each element in the matrix pair $(\bm{H},\bm{S})$ is evaluated by the Hadamard test where the controlled $\hat{U}$ gate

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤르마드 테스트에서의 유한한 샘플링은 QKSD에서 고유값 추정 정확도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 QKSD에서 샘플링 노이즈로 인한 편향 행렬의 스펙트럴 노름에 대한 비점근 상한은 무엇인가?
• RQ3 어떤 조건에서 토플리츠 구성 방식이 비토플리츠 구성 방식보다 오차 감소 측면에서 우월한가?
• RQ4 교차 행렬의 불안정성은 어떻게 완화시킬 수 있으며, 이는 QKSD에서 일반화된 고유값 문제의 안정성 향상에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 이론적 오차 한계는 수치 시뮬레이션된 QKSD 구현에서 실제로 관측된 실험적 샘플링 오차를 정확히 예측할 수 있는가?

주요 결과

• 투영된 해밀토니안에서의 샘플링 오차 스펙트럴 노름은 $ O\bigl( \|\hat{H}\|_{\beta} n \sqrt{n \log n} / \sqrt{M_{\bm{H}}} \bigr) $ 으로 상한이 제시되며, 여기서 $ M_{\bm{H}} $ 는 측정 샷 수이다.
• 토플리츠 구성에서의 교환 오차는 $ O\bigl( N_{\Gamma}^2 \|\hat{H}\| \Delta_t^2 n^3 / D^2 \bigr) $ 으로 스케일되며, $ \hat{U}_{\mathrm{ST}} $ 가 $ \hat{H} $ 와 교환되지 않을 경우 체계적 편향을 유도한다.
• 토플리츠 구성이 비토플리츠 방법보다 우월한 점근적 조건은 $ D = \Omega\bigl( N_{\Gamma} \Delta_t \bigl( \|\hat{H}\| / \|\hat{H}\|_{\beta} \bigr)^{1/2} (n^3 M_{\bm{H}} / \log n)^{1/4} \bigr) $ 으로 도출된다.
• 제안된 절단 임계값은 불안정한 기저 벡터를 효과적으로 제거하여 샘플링 노이즈에 대한 민감도를 낮추고 GEVP 해의 안정성을 향상시킨다.
• 1D 허브 모델에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 오차 한계가 잘 조절된 영역에서 실제로 관측된 샘플링 오차와 매우 유사한 결과를 보였다.
• 오차 분석 프레임워크는 측정 샷 수 증가에 따른 고에너지 추정치의 수렴 행동을 성공적으로 예측하여, QKSD 구현에 대한 실용적 관련성을 입증하였다.

Figure 2: Overview of the main results. Error matrices are considered as Gaussian random matrices whose standard deviations are derived in Appendix C . The statistics of the error matrix norm is derived using (Tropp, 2015 , Theorem 4.4.1) , whose proofs are provided in Appendix D . Accordingly, a bo