[논문 리뷰] Similarity Flow Solutions of a Non-Newtonian Power-law Fluid

Mohamed Guedda, Zakia Hammouch|ArXiv.org|2009. 04. 02.

Fluid Dynamics and Turbulent FlowsEngineering참고 문헌 19인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 유사성 변환을 사용하여 비뉴턴 성분 법칙 유체가 확장되는 판 위에서의 정 steady 난류 경계층 유동에 대한 유사성 해를 조사한다. 점성 체액의 경우(n > 1) 무한한 수의 전역 비유계 해가 존재함을 증명하고, 그 점점 증가하는 행동을 유도하며, 해의 성장은 체적 지수 n과 확장 지수 m에 의해 결정됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we present a mathematical analysis for a steady-state laminar boundary layer flow, governed by the Ostwald-de Wael power-law model of an incompressible non- Newtonian fluid past a semi-infinite power-law stretched flat plate with uniform free stream velocity. A generalization of the usual Blasius similarity transformation is used to find similarity solutions [1]. Under appropriate assumptions, partial differential equations are transformed into an autonomous third-order nonlinear degenerate ordinary differential equation with boundary conditions. Using a shooting method, we establish the existence of an infinite number of global unbounded solutions. The asymptotic behavior is also discussed. Some properties of those solutions depend on the viscosity power-law index.

연구 동기 및 목표

• 뉴턴 유체에서의 다중 유사성 해 분석을 비뉴턴 성분 법칙 유체로 확장하기.
• 점성 체액(n > 1)에 대한 전역 비유계 해의 존재성과 점점 증가하는 행동을 조사하기.
• 성분 법칙 지수 n과 확장 지수 m이 해의 구조 및 감쇠/성장 속도에 미치는 영향을 분석하기.
• 비뉴턴 유체역학 조건 하에서 블라시우스 유사성 변환을 일반화하기.

제안 방법

• 2차원 경계층 비선형 편미분방정식(PDE)을 제3형 비선형 상미분방정식(ODE)으로 줄이기 위해 일반화된 유사성 변환을 적용한다.
• 유량 함수와 유사성 변수는 확장 지수 m과 유체 지수 n에 따라 지수 법칙 스케일링을 사용한다.
• 유도된 ODE는 (|f''|^{n-1}f'')' + αff'' - m(f')² = 0 형태이며, f(0) = a, f'(0) = b, f'(∞) = 0 조건을 만족한다.
• 사격법(Shooting method)을 사용하여 m ∈ (−2α, 0) 및 n > 1 조건에서 전역 비유계 해의 존재성을 입증한다.
• 에너지 유형 함수 및 단계 평면 기법을 활용한 점점 증가하는 행동 분석을 수행하여 장기 행동을 도출한다.
• 리아푸노프 유형 함수와 적분 추정을 사용하여 무한대에서 거듭제곱 법칙 성장으로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비뉴턴 성분 법칙 유체가 경계층 흐름에서 확장되는 판 위에서 다중 전역 비유계 유사성 해가 존재하는가?
• RQ2 성분 법칙 지수 n은 이러한 해의 존재성과 점점 증가하는 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 f(t) → ∞ (t → ∞)일 때의 큰 t 행동은 무엇이며, m과 n에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 비뉴턴 유체의 경우 고전적 블라시우스 사례를 초월해 사격법을 사용하여 해의 존재성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• m ∈ (−2α, 0) 및 n > 1 조건에서 문제는 무한한 수의 전역 비유계 유사성 해를 포함한다.
• f(t) → ∞ (t → ∞)일 때, 해는 f(t) ∼ t^{α/(α−m)}(A + o(1)) 형태로 점점 증가한다. 여기서 A > 0이다.
• 점점 증가하는 속도는 성분 법칙 지수 n과 확장 지수 m에 모두 의존한다.
• 특수 케이스 m = −α에서는 해가 무한대에서 f(t) ∼ t^{1/2}로 행동함을 보여, 더 느린 성장이 된다.
• 사격법을 통해 해의 존재성이 입증되었으며, ODE의 무한대에서의 행동에 대한 엄밀한 분석이 수행되었다.
• 적분 추정과 리아푸노프 유형 함수를 사용하여 점점 증가하는 행동이 거듭제곱 법칙 성장으로 수렴함을 도출하였다.