[논문 리뷰] Simulating quantum circuit expectation values by Clifford perturbation theory

Tomislav Begušić, Kasra Hejazi외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 06. 07.

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 near-Clifford 양자 회로에서 기댓값을 효율적으로 근사하기 위한 펌정법을 소개한다. 이 방법은 Clifford 기반 헤이젠베르크 그림 진화를 사용하며, 비클리포드 회전 각도의 거듭제곱으로 전개하고 급수를 잘라내어 낮은 계산 비용으로 높은 정확도를 달성한다. 이는 샘플링 기반 접근보다 수개의 주기로 뛰어난 성능을 보이며, 노이즈가 있는 Clifford 회로의 확장 가능한 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The classical simulation of quantum circuits is of central importance for benchmarking near-term quantum devices. The fact that gates belonging to the Clifford group can be simulated efficiently on classical computers has motivated a range of methods that scale exponentially only in the number of non-Clifford gates. Here, we consider the expectation value problem for circuits composed of Clifford gates and non-Clifford Pauli rotations, and introduce a heuristic perturbative approach based on the truncation of the exponentially growing sum of Pauli terms in the Heisenberg picture. Numerical results are shown on a Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) benchmark for the E3LIN2 problem and we also demonstrate how this method can be used to quantify coherent and incoherent errors of local observables in Clifford circuits. Our results indicate that this systematically improvable perturbative method offers a viable alternative to exact methods for approximating expectation values of large near-Clifford circuits.

연구 동기 및 목표

• 비클리포드 게이트 수에 따라 효율적으로 스케일링되는, 기댓값을 체계적으로 개선할 수 있는 고전적 시뮬레이션 방법을 개발하는 것.
• 정확한 시뮬레이션으로는 불가능한 변량 양자 알고리즘(QAOA 및 VQE 포함)에서 기댓값을 신속하고 정확하게 근사화할 수 있도록 하는 것.
• 최소한의 오버헤드로 비클리포드 회로에 있는 비가역적 및 비가역적 오차를 모델링할 수 있도록 방법을 확장하는 것.
• 대규모 near-Clifford 회로에서 정확하거나 샘플링 기반 방법의 실용적 대안을 제공하는 것.

제안 방법

• 해밀토니안 그림을 사용하여 파울리 관측량을 클리포드 및 비클리포드 파울리 로테이션을 거쳐 진화시키며, 각도의 증가에 따른 파울리 항의 증식을 펌정 전개로 추적한다.
• 진화를 비클리포드 각도 θ에 대한 다항식으로 모델링하며, 각 항은 특정 차수의 파울리 항 증식에 해당하며 계수는 sin(θ)/2의 거듭제곱을 포함한다.
• N개의 게이트 이후 차수 k의 파울리 항 수는 M^(k) = 2^(-k) * C(N,k)로 주어지며, 최악의 경우 평균 스케일링은 (3/2)^N이다.
• 펌정 급수를 유한 차수 K에서 잘라내어 계산 비용을 제어하면서 상대 오차 bound δ를 통해 정확도를 유지한다.
• 비트 플립, 위상 플립, 진폭 감쇠와 같은 오차 채널은 오차 확률 λ 또는 s의 거듭제곱으로 가중치를 부여한 펌정 보정으로 통합된다.
• 헤이젠베르크 그림에서 사인 부호 전환과 스케일링 인자로 파울리 채널을 효율적으로 시뮬레이션하며, 관측량 진화 외에 추가 항이 필요로 하지 않는다.

Figure 1: (a) QAOA cost function ( 11 ) for the E3LIN2 problem with $n=50$ qubits and $D=4$ . Only positive values of $\gamma$ are shown because of the symmetry relation $C(-\gamma)=-C(\gamma)$ . (b) Histogram over 100 runs of the maximum order $K$ with a nonzero contribution to the cost function (

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비클리포드 게이트 각도에 대한 펌정 전개가 기댓값을 체계적으로 개선하고 효율적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 펌정 급수의 잘라내기 차수 K가 비클리포드 게이트 수가 다른 회로에서 정확도와 계산 비용에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 특히 변량 양자 알고리즘에서 샘플링 기반 방법보다 이 방법이 속도와 정확도 면에서 뛰어나게 성능을 낼 수 있는가?
• RQ4 이 방법이 비가역적 및 비가역적 오차를 최소한의 계산 오버헤드로 비클리포드 회로에서 얼마나 잘 모델링할 수 있는가?

주요 결과

• 낮은 차수의 펌정 잘라내기로도 높은 정확도를 달성하며, 20개 이하의 비클리포드 게이트를 가진 회로에서 제2 또는 제3차 근사만으로도 신뢰할 수 있는 기댓값을 제공한다.
• E3LIN2 문제를 위한 QAOA 벤치마크에서, 이 펌정 방법은 샘플링 기반 접근보다 기댓값을 최대 1000배 더 빠르게 계산했다.
• 상대 오차 δ는 ∑_{k=K+1}^N |sin(θ)/2|^k * C(N,k)의 尾部에 의해 제한되며, 주어진 δ에 대해 필요한 잘라내기 차수 K를 분석적으로 추정할 수 있다.
• θ = 0.2 rad 및 δ = 0.01일 때, 필요한 펌정 차수 K는 N에 따라 느리게 증가하므로 실용적 회로에 유리한 스케일링을 보인다.
• 비가역적 오차인 비트 플립, 위상 플립, 진폭 감쇠는 오차 확률을 작은 매개변수로 간주하여 펌정 전개에 포함함으로써 최소한의 비용으로 시뮬레이션할 수 있다.
• 위상 감쇠 및 파울리 채널은 헤이젠베르크 그림에서의 그 구조 덕분에 관측량 진화 외에 추가 비용 없이 시뮬레이션할 수 있다.

Figure 2: $\langle Z_{1}Z_{26}\rangle$ evaluated for a Clifford circuit defined by Eqs. ( 12 )–( 14 ) with $n=50$ qubits, $p=4$ , and a coherent error defined by $\delta\theta$ (see text). (a) Expectation value as a function of $\delta\theta$ for several perturbation orders $K$ ; (b, c) error in the