[논문 리뷰] Solve the General Constrained Optimal Control Problem with Common Integration Method

Sheng Zhang, Jingyuan Gao|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 06.

Spacecraft Dynamics and Control참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 제약 조건을 가진 최적 제어 문제(OCPs)를 해결하기 위한 새로운 수치적 접근법을 제안한다. 특히 경로 제약 조건이 해석이 어려운 경우에도, 변형 진화 방법을 통해 OCPs를 초기값 문제(IVPs)로 변환함으로써 해결한다. 이 과정에서 비용 상태 없는 최적성 조건을 수립하고, 카르쉬-쿤-터커(KKT) 승수에 대한 적분 방정식을 유도하여 표준 미분방정식(ODE) 통합 방법을 사용한 수렴성을 보장한다.

ABSTRACT

Computation of general state- and/or control-constrained Optimal Control Problems (OCPs) is difficult for various constraints, especially the intractable path constraint. For such problems, the theoretical convergence of numerical algorithms is usually not guaranteed, and the right solution may not be successfully obtained. With the recently proposed Variation Evolving Method (VEM), the evolution equations, which guarantee the convergence towards the optimal solution in theory even for the general constrained OCPs, are derived. In particular, the costate-free optimality conditions are established. Besides the analytic expressions of the costates and the Lagrange multipliers adjoining the terminal constraint, the integral equation that determines the Karush-Kuhn-Tucker (KKT) multiplier variable is also derived. Upon the work in this paper, the general constrained OCPs may be transformed to the Initial-value Problems (IVPs) to be solved, with common Ordinary Differential Equation (ODE) numerical integration methods.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 상태 및 제어 제약 조건, 특히 기존 방법으로 다루기 어려운 경로 제약 조건을 가진 일반적인 최적 제어 문제를 해결하는 데 도전한다.
• 기존 수치 알고리즘에서 제약 조건이 있는 OCPs에 대한 이론적 수렴 보장을 부족하게 하는 문제를 해결한다.
• 일반적인 제약 조건 구조에서도 수렴 보장을 보장하는 체계적인 프레임워크를 개발한다.
• 비용 상태 계산이 필요 없도록 하여 해법 과정을 단순화하는 비용 상태 없는 최적성 조건을 수립한다.
• 일반적인 제약 조건이 있는 OCPs에서 KKT 승수를 결정하는 데 사용할 수 있는 적분 방정식을 유도한다.

제안 방법

• 일반적인 제약 조건이 있는 OCPs에 대해 최적 해에 수렴함을 보장하는 진화 방정식을 도출하기 위해 변형 진화 방법(VEM)을 도입한다.
• 비용 상태를 명시적으로 구할 필요 없이도 충분한 최적성 조건을 유도한다.
• 제약 조건과 관련된 카르쉬-쿤-터커(KKT) 승수 변수를 결정하는 적분 방정식을 구성한다.
• 유도된 진화 방정식과 적분 제약 조건을 사용하여 원래의 제약 조건이 있는 OCP를 초기값 문제(IVP)로 변환한다.
• 유래된 IVP를 해결하기 위해 일반적인 상미분방정식(ODE) 수치 통합 방법을 활용한다.
• KKT 조건을 직접 진화 역학에 통합함으로써 해법 과정의 이론적 수렴성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불가항력한 경로 제약 조건을 가진 제약 조건이 있는 최적 제어 문제를 해결할 수 있는 일반적 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 비용 상태 계산이 필요 없이도 OCP를 단순화할 수 있는 비용 상태 없는 최적성 조건을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 일반적인 제약 조건이 있는 OCPs에서 KKT 승수를 결정하는 데 사용할 수 있는 적분 방정식은 무엇인가?
• RQ4 표준 ODE 통합 방법이 변환된 OCPs를 초기값 문제로 해결하는 데 얼마나 널리 적용될 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 복잡하거나 비연속적인 제약 조건을 가진 일반적인 OCPs에 대해 이론적 수렴을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 일반적인 제약 조건이 있는 최적 제어 문제를 초기값 문제(IVPs)로 성공적으로 변환하여 표준 ODE 통합 방법을 통해 해결할 수 있다.
• 비용 상태 없는 최적성 조건이 엄밀하게 유도되어 비용 상태 계산이 필요 없으며, 수치적 절차가 단순화된다.
• 제약 조건을 강제로 이행하는 데 필수적인 KKT 승수 변수에 대한 적분 방정식이 확립되었다.
• 불가항력한 경로 제약 조건이 있는 OCPs에 대해서도 해법 과정의 이론적 수렴성이 보장되어 있으며, 이는 기존 방법의 주요 한계를 해결한다.
• 프레임워크는 종료 조건과 복잡한 부등식 제약 조건을 포함한 광범위한 OCP 클래스에 적용 가능하다.
• 이론적 유도를 통해 검증되었으며, 일반적인 수치적 ODE 해법기와의 호환성을 보이며 실용적인 구현 가능성을 보장한다.