[논문 리뷰] Spectral radius and rainbow Hamiltonicity in bipartite graphs

Meng chen, Ruifang Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 04.

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한 줄 요약

이 논문은 이분 그래프 가족에서 색채 무지개 해밀턴 경로 및 사이클의 존재를 위한 엄밀한 스펙트럴 반지름 조건을 제시하고, 대응하는 스펙트럴 극값 그래프를 완전히 특징지킨다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{G}=\{G_1, G_2, \ldots , G_k\}$ be a family of bipartite graphs on the same vertex set. A rainbow Hamilton path (cycle) in $\mathcal{G}$ is a path (cycle) that visits each vertex precisely once such that any two edges belong to different graphs of $\mathcal{G}.$ In this paper, by adopting the technique of bi-shifting, we present tight sufficient conditions in terms of the spectral radius for a family $\mathcal{G}$ to admit a rainbow Hamilton path and cycle, respectively. Meanwhile, we completely characterize the corresponding spectral extremal graphs.

연구 동기 및 목표

• 스펙트럼 반지름을 통해 이분 그래프 가족에서 무지개 해밀턴 경로/사이클의 존재를 동기화하고 연구한다.
• 무지개 해밀턴 경로와 사이클에 대한 스펙트럼 반지름을 이용한 촘촘한 충분조건을 개발한다.
• 스펙트럴 반지름 한계에서 동등성을 달성하는 극값 그래프를 특징화한다.
• 무지향 및 거의 균형 잡힌 이분 그래프에서 shifting/bi-shifting 기법을 적응하고 적용한다.

제안 방법

• bi-shifting(및 shift ing) 기법을 채택하여 그래프를 변환하되 무지개 해밀턴성 특성을 보존한다.
• 간선 수를 통해 ρ(G)를 상한/하한하기 위해 Nosal-type 경계와 스펙트럼 반지름 비교를 사용한다.
• 그래프 구조를 ρ(G)에 연결하기 위해 동등분할(quotient) 행렬과 고유값 간격(n interlacing)을 활용한다.
• 균형 잡힌 및 거의 균형 잡힌 이분 그래프에서 무지개 해밀턴 경로와 사이클에 대한 엄밀한 충분조건을 도출한다.
• 등식이 달성되는 극값 그래프를 특징화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이분 그래프 가족에 대해 어떤 스펙트럼 반지름 조건이 무지개 해밀턴 경로나 경로를 보장하는가?
• RQ2 무지개 해밀턴성에 대해 이러한 스펙트럼 반지름 한계를 달성하는 극값 이분 그래프 구조는 무엇인가?
• RQ3 shift/bi-shifting 연산이 스펙트럼 제약하에서 무지개 해밀턴 구조의 존재에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ4 이미 알려진 (비무지개) 해밀턴성에 대한 스펙트럼 조건을 이분 그래프의 무지개 변형으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• Theorem 1.3: For a 2n-1 sized family of balanced bipartite graphs with ρ(Gi) ≥ ρ(Kn,n−1 ∪ K1), a rainbow Hamilton path exists unless all Gi are isomorphic to Kn,n−1 ∪ K1.
• Theorem 1.4: For a 2n-2 sized family of nearly balanced bipartite graphs with ρ(Gi) ≥ ρ(Kn−1,n−1 ∪ K1), a rainbow Hamilton path exists unless all Gi are isomorphic to Kn−1,n−1 ∪ K1.
• Theorem 1.5 (cited): A spectral-radius condition on ρ(G) ≥ ρ(Bn^k) ensures a Hamilton cycle in a balanced bipartite graph with minimum degree δ(G)≥k.
• Theorem 1.6: For a balanced family of 2n graphs with ρ(Gi) ≥ ρ(K1,n−1 ⊎ ˆKn−1,1), a rainbow Hamilton cycle exists unless all Gi are isomorphic to K1,n−1 ⊎ ˆKn−1,1.
• The paper also provides a complete spectral-extremal characterization showing that the extremal graphs achieving bound are exactly the specified structured graphs (e.g., Qn^0, Tn^0).