[논문 리뷰] Stopping times are hitting times: a natural representation

Tom Fischer|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정지 시간과 값이 {0,1}이면서 비감소이고 적응적 càdlàg 과정 사이의 일대일 대응을 수립한다. 모든 정지 시간이 이러한 과정에 의해 {0}을 처음으로 만족하는 순간으로서 본질적으로 hitting time임을 보이며, 이는 1에서 0으로 전이되는 이진 '신호등' 과정의 첫 번째 전이로 정지 시간을 자연스럽고 직관적으로 표현한다.

ABSTRACT

There exists a simple, didactically useful one-to-one relationship between stopping times and adapted càglàd (LCRL) processes that are non-increasing and take the values 0 and 1 only. As a consequence, stopping times are always hitting times.

연구 동기 및 목표

• 정지 시간을 보렐 집합에 대한 hitting time으로 자연스럽고 직관적인 표현을 수립하기 위해.
• 모든 정지 시간이 특정한 종류의 적응적 확률 과정에 의해 {0}에 대한 첫 번째 hitting time으로 나타남을 보여주기 위해.
• 정지 시간과 값이 {0,1}이며 시간에 따라 비감소하는 적응적 càdlàg 과정 사이의 전단사 대응을 제공하기 위해.
• 표준 정의의 정지 시간에 대한 교육적으로 유용한 대안을 제공하여, 이들이 '랜덤 신호등'과 유사한 구조적 유사성을 강조하기 위해.

제안 방법

• 정지 과정을 값이 {0,1}이면서 적응적, càdlàg, 비감소인 과정으로 정의한다.
• 모든 t에 대해 X_t(ω) = 1이면 τ^X(ω) = min{t ∈ T : X_t(ω) = 0}로 정의하여, such processes X에서 정지 시간 τ^X로의 사상 구축.
• 정지 시간 τ에서 과정 X^τ_t = 1_{τ > t}로 정의되는 역사상 정의. 이는 τ 이전에는 1, τ 이후 및 그 시점에는 0이다.
• τ^X^τ = τ 및 X^τ^X = X임을 증명하여, 정지 과정과 정지 시간 사이의 전단사 관계 수립.
• càdlàg 성질을 활용하여 각 경로에 대해 τ^X의 최소값이 존재함을 보장한다.
• 적응성과 {τ ≤ t}의 여집합을 사용하여 τ^X가 정지 시간 조건 {τ^X ≤ t} ∈ F_t를 만족함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 정지 시간은 적응적 확률 과정에 의해 보렐 집합에 대한 첫 번째 hitting time으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 정지 시간을 그 hitting 행동을 통해 자연스럽게 표현하는 표준적이고 직관적인 확률 과정의 클래스가 존재하는가?
• RQ3 정지 시간과 특정한 종류의 적응적, càdlàg, {0,1}-값, 비감소 과정 사이에 전단사 대응을 수립할 수 있는가?
• RQ4 표준 정의의 정지 시간은 '랜덤 신호등'이 빨간 불로 바뀌는 시간으로 자연스럽게 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 정지 시간 τ는 X^τ_t = 1_{τ > t}로 정의된 과정 X^τ에 대해 {0}에 대한 hitting time이다. 이 과정은 적응적, càdlàg, 비감소이며 값이 {0,1}이다.
• X ↦ τ^X로 정의된 사상 f는 정지 과정과 정지 시간 사이의 전단사이며, 그 역은 f^{-1}: τ ↦ X^τ이다.
• 과정 X^τ는 lim_{t↓τ(ω)} X^τ_t(ω) = 0 = X^τ_τ(ω) 이므로 càdlàg이다. 이는 오른쪽 연속성과 왼쪽 극한이 존재함을 보장한다.
• 정지 시간 τ^X는 càdlàg 성질 덕분에 잘 정의되며, 이는 X_t = 0이 되는 최소 시간 t의 존재를 보장한다.
• 표현 τ^X = min{t ∈ T : X_t = 0} if not identically 1, and ∞ otherwise는 정지 시간에 대한 자연스럽고 직관적인 해석을 제공한다.
• 결과는 거의 확실히 동일한 과정이나 정지 시간을 식별하지 않더라도 성립하며, 그러한 식별은 가능하지만 필수는 아니다.