[논문 리뷰] Structural physical approximation of partial transposition makes possible to distinguish SLOCC inequivalent classes of three-qubit system

Anu Kumari, Satyabrata Adhikari|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 14.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 세 큐비트 얽힘 상태의 SLOCC-비동치 클래스를 탐지하고 분류하기 위해 구조적 물리적 근사(Structural Physical Approximation, SPA)를 사용한 물리적으로 실현 가능한 방법을 제안한다. 비물리적 부분 전치 사상(PT)을 완전히 양성(Completely Positive, CP) 사상으로 근사화함으로써, 저자들은 세 큐비트 밀도 행렬에 대한 SPA-PT의 명시적 행렬 표현을 유도하고, 고유값 임계값과 삼중터클(Three-tangle) 분석에 기반한 실험적으로 실현 가능한 기준을 수립하여 GHZ 및 W 클래스 상태를 구분한다.

ABSTRACT

Detection and classification of entanglement properties of a multi-qubit system is a topic of great interest. This topic has been studied extensively and thus we found different approaches for the detection and classification of multi-qubit entangled states. We have applied partial transposition operation on one of the qubit of the three-qubit system and then studied the entanglement properties of the three-qubit system, which is under investigation. Since the partial transposition operation is not a quantum operation so we have approximated partial transposition operation in such a way so that it represent a completely positive map. The approximated partial transposition operation is also known as structural physical approximation of partial transposition (SPA-PT). We have studied in detail the application of SPA-PT on a three qubit system and provided explicitly the matrix elements of the density matrix describing SPA-PT of a three qubit system. Moreover, we propose criterion to classify all possible stochastic local operations and classical communication(SLOCC) inequivalent classes of a pure as well as mixed three qubit state through SPA-PT map, which makes our criterion experimentally realizable. We have illustrated our criterion for detection and classification of three-qubit entangled states by considering few examples.

연구 동기 및 목표

• 다중큐비트 시스템에서 세 큐비트 시스템의 실험적 얽힘 탐지 및 분류 과제를 해결하기 위해.
• 실험적으로 실현할 수 없는 비완전히 양성(Non-Completely Positive) 사상인 부분 전치의 한계를 극복하기 위해.
• 순수 및 혼합 세 큐비트 상태의 SLOCC-비동치 클래스를 구분하기 위한 물리적으로 실현 가능한 기준을 개발하기 위해.
• 어느 한 큐비트에 대해 부분 전치를 적용할 경우 세 큐비트 밀도 행렬에 대한 SPA-PT의 명시적 행렬 표현을 제공하기 위해.
• 삼중터클과 고유값 임계값을 사용하여 GHZ 및 W 클래스 상태의 분석적 분류를 통해 방법을 검증하기 위해.

제안 방법

• 부분 전치(PT) 사상에 구조적 물리적 근사(SPA)를 적용하여, 실험적으로 실현 가능한 완전히 양성 사상으로 변환한다.
• 어느 한 큐비트에 대해 전치가 적용될 경우, 세 큐비트 밀도 연산자에 대한 SPA-PT 사상의 명시적 행렬 원소를 유도하며, 이는 전치가 적용된 경우 2×2 블록 행렬 형태로 표현된다.
• SPA-PT 변환된 밀도 행렬의 최소 고유값을 탐지 기준으로 사용한다: 2/9 미만이면 상태는 얽힘 상태이다(2⊗2 시스템 기준).
• 삼중터클과 고유값 분석에 기반한 기준을 도입하여, 매개변수 범위에 따라 SLOCC-비동치 클래스(GHZ 대 W)로 상태를 분류한다.
• 상태 매개변수의 변화에 따라 최소 고유값과 삼중터클의 행동을 분석함으로써 혼합 상태에 대한 SPA-PT 기준을 적용한다.
• 2⊗2 시스템에 대한 감소된 SPA-PT 기준을 벤치마크로 사용하며, 얽힘 탐지의 임계값은 2/9이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구조적 물리적 근사(Structural Physical Approximation, SPA-PT)를 사용하여 세 큐비트 얽힘 상태의 SLOCC-비동치 클래스를 구분할 수 있는가?
• RQ2 어느 한 개별 큐비트에 대해 전치가 적용될 경우, 세 큐비트 밀도 행렬에 대한 SPA-PT 사상의 명시적 행렬 표현은 무엇인가?
• RQ3 SPA-PT 변환된 상태의 최소 고유값은 어떻게 사용되어 세 큐비트 상태를 GHZ 또는 W 클래스로 분류할 수 있는가?
• RQ4 제안된 SPA-PT 기준은 실험적으로 실현 가능하며 순수 및 혼합 세 큐비트 상태에 모두 적용 가능한가?
• RQ5 혼합 세 큐비트 상태에서 삼중터클이 비영이 되는 매개변수 범위는 무엇인가? 이는 GHZ-클래스 얽힘을 나타낸다.

주요 결과

• SPA-PT 사상은 비물리적 부분 전치를 완전히 양성 사상으로 변환하여, 얽힘 탐지의 실험적 실현 가능성을 보장한다.
• 2⊗2 시스템에서 얽힘 상태의 경우, SPA-PT 변환된 밀도 행렬의 최소 고유값은 2/9 미만이 되며, 이는 측정 가능한 얽힘 기준을 제공한다.
• q1과 q2 = (1−q1)/n 으로 매개변수화된 혼합 세 큐비트 상태에서, 삼중터클이 0이 되는 조건에 따라 0.25 ≤ q1 ≤ 0.629 범위에서 W 클래스로 식별된다.
• q1가 0.6269 < q1 ≤ 1 이고 q2 = (1−q1)/n 인 경우, 삼중터클이 비영이 되므로 GHZ 클래스로 탐지되며, 이는 진정한 삼자 얽힘을 나타낸다.
• 제안된 기준은 실험적으로 측정 가능한 양으로 모든 SLOCC-비동치 클래스의 세 큐비트 상태를 분류할 수 있다.
• 분석적 예제를 통한 검증을 통해, 전체 상태 톰오그라피 없이도 얽힘 클래스를 효과적으로 구분할 수 있음을 입증하였다.