[논문 리뷰] The 2-Chu-Dialectica construction and the polycategory of multivariable adjunctions

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 35인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다중 변수 수반 관계의 다중 카테고리적 구조를 자연스럽게 포괄하는 통합된 2-카테고리적 프레임워크를 제안한다. 이는 다중 카테고리에서 일반화된 'Chu-Dialectica' 구성 방식을 통해 이루어지며, 고전적 Chu 구성과 Dialectica 구성 모두를 포함한다. 다중 변수 수반 관계가 다중 카테고리임을 보이고, 2-Chu-Dialectica 구성이 이들의 이중성과 순환적 구조를 자연스럽게 포착함으로써, 고차 카테고리 이론에서 $ atural$-자기쌍대 및 $ atural$-쌍대 가능 구조의 표준적 설정을 제공한다.

ABSTRACT

Cheng, Gurski, and Riehl constructed a cyclic double multicategory of multivariable adjunctions. We show that the same information is carried by a double polycategory, in which opposite categories are polycategorical duals. Moreover, this double polycategory is a full substructure of a double Chu construction, whose objects are a sort of polarized category, and which is a natural home for 2-categorical dualities. We obtain the double Chu construction using a general "Chu-Dialectica" construction on polycategories, which includes both the Chu construction and the categorical Dialectica construction of de Paiva. The Chu and Dialectica constructions each impose additional hypotheses making the resulting polycategory representable (hence *-autonomous), but for different reasons; this leads to their apparent differences.

연구 동기 및 목표

• 다중 카테고리 프레임워크 내에서 카테고리적 Dialectica 및 Chu 구성 방식을 통합하기 위해.
• 다중 변수 수반 관계의 다중 카테고리가 2-카테고리적 일반화된 Chu 구성의 자연스러운 결과임을 보여주기 위해.
• 2-Chu-Dialectica 구성이 2-카테고리적 이중성과 $ atural$-자기쌍대 구조의 자연스러운 근거를 제공함을 보여주기 위해.
• Dialectica 및 Chu 구성 간의 구조적 차이를 다중 카테고리에서의 서로 다른 표현 조건에 기반해 밝혀내기 위해.

제안 방법

• 다중 카테고리에서 일반화된 'Chu-Dialectica' 구성 방식을 도입하여, 고전적 Chu 구성과 Dialectica 구성 모두를 확장한다.
• 2-Chu-Dialectica 구성은 이중화된 카테고리와 이중성을 갖춘 카테고리의 객체를 갖는 다중 이중 카테고리로 정의한다.
• 대칭 모나드 카테고리와 이중화 객체를 갖는 카테고리에서, 이중 Chu 구성의 전형적 부분구조로 2-Chu-Dialectica를 구성한다.
• 다중 카테고리에서의 보편 성질을 사용하여, 결과 구조에서의 텐서 곱과 이중성의 특성을 기술한다.
• 다중 변수 수반 관계의 결과 다중 카테고리가 자연스럽게 순환적이고 대칭적이며, 호모지오지 집합에 대해 호환 가능한 인보리션과 순환 작용을 갖는다는 것을 보여준다.
• 표현 조건을 통해 구성이 $ atural$-자기쌍대 구조를 유도함을 입증하며, Dialectica와 Chu의 경우에 대해 표현 조건의 근본적 차이를 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Dialectica 및 Chu 구성 방식은 어떻게 단일 다중 카테고리적 프레임워크 내에서 통합될 수 있는가?
• RQ2 2-Chu-Dialectica 구성에서 텐서 곱의 배경이 되는 보편 성질은 무엇인가?
• RQ3 2-Chu-Dialectica 구성은 다중 변수 수반 관계의 이중성과 순환적 구조를 어떻게 포착하는가?
• RQ4 왜 Dialectica 및 Chu 구성은 서로 다른 표현 메커니즘을 통해 $ atural$-자기쌍대 카테고리를 도출하는가?
• RQ5 다양한 카테고리가 2-Chu-Dialectica 구성에서 2-카테고리적 이중성의 자연스러운 설정으로서 수행하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 2-Chu-Dialectica 구성은 다중 변수 수반 관계의 모든 구조, 특히 순환성과 이중화 성질까지도 완전히 포괄하는 다중 이중 카테고리이다.
• 이 구성은 단일 다중 카테고리적 프레임워크 내에서 Dialectica 및 Chu 구성의 특수한 경우로 일반화된다.
• 다중 변수 수반 관계의 결과 다중 카테고리는 자연스럽게 순환적이고 대칭적이며, 호모지오지 집합에 대해 호환 가능한 인보리션과 순환 작용을 갖는다.
• Dialectica 및 Chu 구성은 표현 조건의 근본적 차이로 인해 다릅니다: Dialectica는 내부 호모지오지에 의해, Chu는 당김과 수반 관계에 의해 표현되며, 둘 다 $ atural$-자기쌍대 구조를 도출한다.
• 2-Chu-Dialectica 구성은 이중 Chu 구성의 전형적 부분구조이며, 2-카테고리적 이중성의 자연스러운 근거가 된다.
• 이 구성은 2-Chu-Dialectica 카테고리에서의 텐서 곱이 세 개의 사상으로 구성된 도형이 만족하는 교환 다이어그램에 대응하며, 이는 수반 관계를 암시한다.