[논문 리뷰] Time evolution of spread complexity in quenched Lipkin-Meshkov-Glick model

Mir Afrasiar, Jaydeep Kumar Basak외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 22.

Quantum many-body systems참고 문헌 73인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 냉각된 리플킨-메쉬코프-글릭(Lipkin-Meshkov-Glick, LMG) 모형에서의 산란 복잡도(Spread Complexity, SC)의 시간 진동을 분석하여 양자 상전이를 탐구한다. SC에 기여하는 크리로프 기저 원소의 증가를 임계값 이상으로 분석함으로써 대칭상과 붕괴상 사이를 구분하며, 이는 대칭상에서는 산란 엔트로피가 느리게 수렴하고 비임계 냉각 이후의 늦은 시점에서 로그로 발산하는 것으로 나타난다.

ABSTRACT

We use the spread complexity of a time evolved state after a sudden quantum quench in the Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) model prepared in the ground state as a probe of quantum phase transition when the system is quenched towards the critical point. By studying the growth of the effective number of elements of the Krylov basis, those contribute to the spread complexity more than a preassigned cut off, we show how the two phases of the LMG model can be distinguished. We also explore the time evolution of spread entropy after both non-critical and critical quenches. We show that the sum contributing to the spread entropy converges slowly in the symmetric phase of the LMG model compared to that of the broken phase, and for a critical quench, the spread entropy diverges logarithmically at late times.

연구 동기 및 목표

• 냉각된 리플킨-메쉬코프-글릭(Lipkin-Meshkov-Glick, LMG) 모형에서의 산란 복잡도(Spread Complexity, SC)를 사용하여 양자 상전이를 탐지한다.
• SC의 동역학과 크리로프 기저 기여도를 통해 LMG 모형의 대칭상과 붕괴상을 구별한다.
• 비임계 및 임계 냉각 이후 산란 엔트로피의 시간 진동을 연구한다.
• 다른 상들 사이에서 산란 엔트로피의 수렴 행동을 비교하고 임계 냉각 이후 늦은 시점에서의 발산 행동을 식별한다.

제안 방법

• 갑작스러운 양자 냉각 이후 시간으로 진화한 상태의 산란 복잡도(Spread Complexity, SC)를 사용하여 LMG 모형에서의 양자 상전이를 탐지한다.
• 시간으로 진화한 상태를 SU(2) 군 구조를 이용하여 계산하며, 진화의 저질서 구조로 인해 오직 두 개의 크리로프 기저 상태의 초위상으로 표현된다.
• 크리로프 기저를 정의하고 SC 계산을 가능하게 하는 비제로 랑츠코efficient $ a_0, a_1, b_1 $를 계산하기 위해 랑츠 알고리즘을 적용한다.
• 확장 계수 $ heta_0(t), heta_1(t) $를 사용하여 단일 운동량 모드에 대한 SC를 유도함으로써, 냉각 이후 매개변수 $ q_1^f, q_2^f $와 운동량 $ k $에 대한 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.
• 연속 근사에서 모든 $ k $에 대해 모드별 SC를 통합하고, 음성 $ k $를 포함하기 위해 2를 곱하여 총 산란 복잡도를 얻는다.
• 산란 엔트로피의 시간 진동을 수치적으로 계산하고 분석하여 대칭상과 붕괴상에서의 수렴 행동을 비교하고 임계 냉각 이후 늦은 시점에서의 로그 발산 행동을 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산란 복잡도는 냉각 이후 LMG 모형의 대칭상과 붕괴상을 구별할 수 있는가?
• RQ2 산란 복잡도에 기여하는 크리로프 기저 원소의 증가 방식은 대칭상과 붕괴상에서 어떻게 다를까?
• RQ3 비임계 및 임계 냉각 이후 산란 엔트로피의 시간 진동은 어떻게 진행되는가?
• RQ4 임계 냉각 이후 늦은 시점에서 산란 엔트로피는 발산 행동를 보이며, 그 기능적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 임계값 이상으로 기여하는 크리로프 기저 원소의 효과적 수는 대칭상과 붕괴상에서 다르게 증가하여 상을 구별할 수 있다.
• 대칭상에서는 산란 엔트로피가 붕괴상보다 느리게 수렴하며, 이는 더 느린 혼합 또는 복잡도 증가의 감소를 시사한다.
• 임계 냉각 이후 늦은 시점에서 산란 엔트로피는 로그로 발산하며, 복잡도 증가의 임계 느려짐을 나타낸다.
• SC의 시간 진동은 감쇠 진폭을 가진 진동 형태이며, 냉각 이후 비톱올로지컬(대칭) 상에서의 SC 크기는 토폴로지컬(붕괴) 상보다 크다.
• 최종 매개변수 $ q_1^f $와 $ q_2^f $를 바꾸면 SC의 크기는 변하지만 진동 주기는 유지되며, 이는 이전 결과와 다름을 보이며, 이전 결과에서는 상과 관계없이 항상 동일한 값 주위를 진동하였다.
• 단일 운동량 모드에 대한 유도된 SC 표현식은 초기 해밀토니언에 의존하지 않으며, 오직 냉각 이후 매개변수와 시간에만 의존한다. 이는 초기 상태가 $ ig| rac{1}{2}, -rac{1}{2} ig angle $ 이기 때문이다.