[논문 리뷰] Weak convergence of Euler-Maruyama's approximation for SDEs under integrability condition

Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 표준 성장 조건 대신 적분 가능성 조건을 만족할 때, 특이한 비율을 가진 확률미분방정식(SDE)에 대한 오일러-마르야모 방법의 약한 수렴성을 확립한다. 차원에 영향을 받지 않는 하르낙 부등식과 지르산وف 정리를 활용하여, 비퇴화 확산 방정식조차도 수렴 속도 $ \delta^{1/2 \wedge \alpha} $ 로 수렴함을 증명하며, 이 방법을 확률적 감쇠 힘학적 시스템에 적용한다.

ABSTRACT

This work establishes the weak convergence of Euler-Maruyama's approximation for stochastic differential equations (SDEs) with singular drifts under the integrability condition in lieu of the widely used growth condition. This method is based on a skillful application of the dimension-free Harnack inequality. Moreover, when the drifts satisfy certain regularity conditions, the convergence rate is estimated. This method is also applicable when the diffusion coefficients are degenerate. A stochastic damping Hamiltonian system is studied as an illustrative example.

연구 동기 및 목표

• 표준 성장 조건이 성립하지 않을 때, 특이한 비율을 가진 SDE에 대한 오일러-마르야모 근사의 약한 수렴성을 확립하는 것.
• 기존의 성장 조건 또는 리아푸노프 조건을 대체하여 비율에 대한 더 약한 적분 가능성 조건을 도입하는 것.
• 수렴 분석을 비퇴화되지 않은 분산 계수로 확장하는 것.
• 비율에 추가적인 정규성 가정이 있을 경우 수렴 속도를 유도하는 것.
• 구체적인 예시로 확률적 감쇠 힘학적 시스템을 통해 이 방법의 성능을 보여주는 것.

제안 방법

• 표준 성장 조건을 만족하지 않는 특이한 비율을 가진 SDE를 다루기 위해 차원에 영향을 받지 않는 하르낙 부등식을 활용한다.
• 동치 확률 측도 하에서 SDE를 재표현하기 위해 지르산프 정리를 적용함으로써 하르낙 부등식의 적용을 가능하게 한다.
• 분석을 위해 비율과 분산 성분을 분리하기 위해 보조 과정을 구성한다.
• 오일러-마르야모 방법을 통해 시간 이산화된 근사값을 구하고, 정확한 해와 근사해의 법칙을 비교한다.
• 적분 가능성과 정규성 가정을 바탕으로 지르산프 변환에 대한 노빅표 조건을 확립한다.
• 모멘트 추정과 확률적 적분의 경계를 통해 기능성의 기대값 차이를 유도함으로써 수렴 속도를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 성장 조건을 위반하는 특이한 비율을 가진 SDE에 대해 오일러-마르야모 방법이 약하게 수렴할 수 있는가?
• RQ2 차원에 영향을 받지 않는 하르낙 부등식은 성장 조건 또는 리아푸노프 조건보다 더 약한 적분 가능성 조건 하에서도 약한 수렴 분석을 가능하게 하는가?
• RQ3 이 방법은 분산 행렬이 일관되게 비퇴화되지 않은 경우에도 확장 가능한가?
• RQ4 비율에 추가적인 정규성 가정이 있을 경우 오일러-마르야모 방법의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ5 이 방법은 확률적 감쇠 힘학적 시스템과 같은 구체적인 모델에서 어떻게 작동하는가?

주요 결과

• 비율이 어떤 성장 조건이나 리아푸노프 조건도 만족하지 않더라도, 적분 가능성 조건 하에서 특이한 비율을 가진 SDE에 대해 오일러-마르야모 방법은 약하게 수렴한다.
• 비율의 정규성 파라미터 $ \alpha $ 를 고려할 때, 추가적인 부드러움 가정 하에서 수렴 속도는 $ \delta^{1/2 \wedge \alpha} $ 이다.
• 비퇴화되지 않은 SDE에도 이 방법이 적용 가능하며, 이는 확률적 감쇠 힘학적 시스템 분석을 통해 입증된다.
• 차원에 영향을 받지 않는 하르낙 부등식은 지르산프 변환에서 노빅표 조건을 검증하고 라돈-니코다임 미분을 제어하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 예를 들어 $ b(x) = \left( \sum_{n=1}^\infty \log\left(1 + \frac{1}{|x - n|^2}\right) \right)^{1/2} - x $ 와 같은 $ \mathbb{L}_p^q $ 에 속하지 않는 비율의 클래스에 대해서도 수렴 결과가 성립한다.
• 모멘트 추정과 확률적 적분 경계를 통해 해와 그 근사값의 기능성 기대값 차이를 유도함으로써 최종 수렴 속도를 도출한다.