[논문 리뷰] What properties of numbers are needed to model accelerated observers in relativity?

Gergely Székely|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 29.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특수 상대성 이론에서 가속도를 갖는 관측자를 모델링하기 위해 필요한 수체계의 대수적 성질을 일阶논리로 조사한다. 일반적인 가속도를 갖는 관측자를 모델링하기 위해 실수 체계가 충분함을 보여주지만, 등가속도를 갖는 관측자를 모델링하기 위해서는 지수 함수에 대해 닫혀 있는 수체계가 필요하며, 이는 순서체의 언어에서 적절한 체계의 집합이 공리화될 수 없음을 의미한다. 핵심 결과는 실수代數체가 실수 체계이긴 하지만 등가속도를 모델링할 수 없다는 것이다.

ABSTRACT

We investigate the possible structures of numbers (as physical quantities) over which accelerated observers can be modeled in special relativity. We present a general axiomatic theory of accelerated observers which has a model over every real closed field. We also show that, if we would like to model certain accelerated observers, then not every real closed field is suitable, e.g., uniformly accelerated observers cannot be modeled over the field of real algebraic numbers. Consequently, the class of fields over which uniform acceleration can be investigated is not axiomatizable in the language of ordered fields.

연구 동기 및 목표

• 특수 상대성 이론에서 가속도를 갖는 관측자를 모델링하기 위해 필요한 수체계의 최소 대수적 성질을 규명하기.
• 실수代數체가 등가속도를 갖는 관측자를 지원할 수 있는지 조사하기.
• 등가속도를 갖는 관측자를 모델링하는 데 적합한 수체계의 집합이 일阶논리의 순서체 공리어에서 공리화 가능한지 검토하기.
• 일阶논리와 순서체 공리어가 기초 물리 이론에서 수행하는 역할을 명확히 하기.
• 등가속도 운동을 모델링하기 위해 지수 함수에 대한 닫힘 성질이 필수적임을 입증하기.

제안 방법

• 신체와 양을 포함하는 이중 유형 언어에서, $\mathsf{AccRel_d}$로 표기되는 일阶논리적 공리 이론을 형식화하기.
• $\mathsf{AccRel_d}$의 공리들을 사용하여, 임의의 실수 체계가 가속도를 갖는 관측자의 모델을 지닐 수 있음을 증명하기.
• 등가속도를 갖는 관측자가 존재함을 주장하는 추가 공리 $\mathsf{Ax\exists UnifOb}$ 도입하기.
• 모델 이론적 추론을 적용하여, 실수代數체 위에서는 $\mathsf{AccRel_d} + \mathsf{Ax\exists UnifOb}$의 모델이 존재하지 않음을 보여주기.
• 밀도 있는 부분체에서 지수 함수의 유일성을 활용하여, $\exp$의 실수代數체 위로의 제한이 이론 내에서 정의 가능하지 않음을 증명하기.
• Pickert–Hion 정리를 적용하여 $\mathbb{R}$의 부분체를 아르키메데스 순서체로 특성화하고, 등가속도를 지탱할 수 있는 것은 오직 $\exp$에 대해 닫혀 있는 체들 뿐임을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수 상대성 이론에서 가속도를 갖는 관측자를 모델링하기 위해 필요한 수체계의 성질은 무엇인가?
• RQ2 실수代數체 위에서 등가속도를 갖는 관측자를 모델링할 수 있는가?
• RQ3 등가속도를 갖는 관측자를 지지하는 체의 집합은 일阶논리적 순서체 언어에서 공리화 가능한가?
• RQ4 지수 함수는 등가속도 운동의 정의 가능성을 어떻게 규정하는가?
• RQ5 수체계의 선택이 상대론적 이론의 논리적 및 물리적 일관성에 어떻게 영향을 주는가?

주요 결과

• $\mathsf{AccRel_d}$는 실수 체계를 포함한 모든 실수 체계에서 모델을 지닌다.
• $\mathsf{Ax\exists UnifOb}$로 형식화된 등가속도를 갖는 관측자의 존재는 수체계가 지수 함수를 지닐 필요가 있음을 암시한다.
• 실수代數체는 등가속도를 갖는 관측자를 지닐 수 없다. 왜냐하면 오일러 수 $e = \exp(1)$가 초월수이기 때문에 이 체에 속하지 않기 때문이다.
• 등가속도를 갖는 관측자를 모델링할 수 있는 체의 집합은 일阶논리적 순서체 언어에서 공리화될 수 없다.
• 실수 부분체 $\mathit{Q} \subseteq \mathbb{R}$ 위에서 정의된 미분 가능 함수 $f$가 $f' = f$ 및 $f(0) = 1$를 만족하면, 이는 반드시 실수 지수 함수의 $\mathit{Q}$ 위로의 제한이어야 하며, 이는 $\mathit{Q}$가 실수代數체일 경우 실패한다.
• 비공리화 가능성 결과는 등가속도를 위해 필요로 하는 지수 함수에 대한 닫힘 성질을 묘사할 수 있는 일阶논리 문장이 존재하지 않기 때문에 유도된다.