[논문 리뷰] Surprising Properties of Non-Archimedean Field Extensions of the Real Numbers

Elemér E Rosinger|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 25.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 4인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 실수 체의 비아르키메데스적 확장을 위한 새로운, 기본적인 초거품 구성법을 제안하며, 무한소와 무한대 원소를 통해 자가유사한 구조를 드러낸다. 이러한 체들이 무한소 집합(모나드)과 무한대 수의 집합이 동일한 복잡도를 지닌다는 점에서 복잡하고 재귀적인 기하학적 성격을 띠며, 물리학과 수학에서 실수선의 유일성에 대한 기본 가정을 도전한다.

ABSTRACT

It is a rather universal tacit and unquestioned belief - and even more so among physicists - that there is one and only one set of real scalars, namely, the one given by the usual field $\mathbb{R}$ of real numbers, with its usual linear order structure on the geometric line. Such a dramatically limiting and thus harmful belief comes, unknown to equally many, from the similarly tacit acceptance of the ancient Archimedean Axiom in Euclid's Geometry. The consequence of that belief is a similar belief in the uniqueness of the field $\mathbb{C}$ of complex numbers, and therefore, of the various spaces, manifolds, etc., be they finite or infinite dimensional, constructed upon the real or complex numbers, including the Hilbert spaces used in Quantum Mechanics. An near total lack of awareness follows about the {\it rich self-similar} structure of various linearly ordered scalar fields obtained through the {\it ultrapower} construction which extend the usual field $\mathbb{R}$ of real numbers. Such {\it ultrapower field} extensions contain as a rather small subset the usual field $\mathbb{R}$ of real numbers. The rich self-similar structure of such field extensions is due to {\it infinitesimals}, and thus also of {\it infinitely large} elements in such fields, which make such fields {\it non-Archimedean}. With the concept of {\it walkable world}, which has highly intuitive and pragmatic algebraic and geometric meaning, the mentioned rich self-similar structure is illustrated. The ultrapower fields presented can have a wide ranging relevance in Physics, among others, for a proper treatment of what are usually called the "infinities in Physics". The ultrapower construction which gives such non-Archimedean fields is rather simple and elementary, requiring only 101 Algebra.

연구 동기 및 목표

• 기하학과 물리학의 스칼라 체로 실수체 R가 유일하게 타당하다는 광범위한 가정을 도전하기 위해.
• 초거품 구성법이 실수체 R를 확장하는 선형순서체를 생성하며, 무한소와 무한대 원소 덕분에 풍부하고 자가유사한 구조를 지닌다는 것을 보여주기 위해.
• 비아르키메데스적 체의 자가유사성을 직관적으로 이해할 수 있는 기하대수적 도구로 '걷기 가능한 세계'의 개념을 도입하기 위해.
• 현재 물리학의 수학적 모델—특히 '무한대'를 포함하는 것들—이 실수체 R의 아르키메데스 성질에 의존함으로써 제한되어 있음을 주장하기 위해.
• 비아르키메데스적 체가 물리적 현상을 더 잘 모델링할 수 있으며, 양자역학과 상대성이론에서 새로운 개념적 발전을 이끌 수 있음을 제안하기 위해.

제안 방법

• 비주류 초필터를 모듈로 사용하여 실수 수열의 동치류를 이용해 비아르키메데스적 체를 구성하기.
• 체 $\mathbb{F}_{\cal U}$를 실수체 $\mathbb{R}$의 초거품으로 정의하며, 이는 $\mathbb{R}$의 진부분체이자 무한소와 무한대 원소를 포함한다.
• 영 주변의 무한소 집합인 '모나드' $\operatorname{mon}(0)$를 도입하고, 그들의 대수적·순서론적 풍부성을 보여주기.
• 예를 들어 $\mathbb{F}_{\cal U} \setminus \operatorname{Gal}(0)$와 $\bigcup_{r,\lambda} (r \pm s_\lambda + \operatorname{mon}(0))$와 같은 $\mathbb{F}_{\cal U}$의 부분집합 간의 순서를 뒤집는 전단사 사상(역순서 전단사)을 설정하여 자가유사성을 드러내기.
• 사상 $s \mapsto 1/s$를 사용하여 확장된 직선의 영역 간에 명시적이고 대수적이며 순서를 뒤집는 전단사를 정의하며, 이는 $\mathbb{R}$에서의 것과 유사하지만 훨씬 더 풍부하다.
• 미적분학에서 극한의 계산적·인지적 타당성은 시간-모나드에 기반할 수 있으며, 이는 고전적 시간 모델의 비아르키메데스적 대안을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 직선은 어떻게 무한소와 무한대 원소를 포함하면서도 선형순서를 유지할 수 있는가?
• RQ2 실수체 $\mathbb{R}$의 초거품 확장체인 $\mathbb{F}_{\cal U}$의 기하학적·대수적 구조는 어떠한가?
• RQ3 특히 영의 모나드에서 나타나는 $\mathbb{F}_{\cal U}$의 자가유사성은 실수체 $\mathbb{R}$의 아르키메데스적 구조와 어떻게 다를까?
• RQ4 '걷기 가능한 세계' 개념이 비아르키메데스 기하학을 이해하는 데 직관적이고 엄밀한 프레임워크를 제공할 수 있는가?
• RQ5 비아르키메데스적 체는 물리학에서 '무한대의 모델링'과 양자역학 및 상대성이론의 기초 개념에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 초거품 구성법은 실수체 $\mathbb{R}$를 엄격히 확장하는 선형순서체 $\mathbb{F}_{\cal U}$를 생성하며, 이는 무한소와 무한대 원소를 모두 포함한다.
• 초거품 구성에 의해 유도된 자가유사성 덕분에 무한소 집합 $\operatorname{mon}(0)$와 모든 무한대 수의 집합 $\mathbb{F}_{\cal U} \setminus \operatorname{Gal}(0)$는 동일한 복잡도를 지닌다.
• 순서를 뒤집는 전단사 사상 $s \mapsto 1/s$는 $\operatorname{mon}(0)$의 비가산 번의 이동을 갈루아 집합의 여집합으로 매핑하며, 체의 구조에 깊은 대칭성을 드러낸다.
• $\mathbb{F}_{\cal U}$의 자가유사성은 $\mathbb{R}$보다 훨씬 더 풍부하며, $\mathbb{R}$에서는 이러한 사상이 오직 $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$와 $[-1,1] \setminus \{0\}$ 간의 관계만을 연결한다.
• 이러한 체의 존재는 표준 실수선이 무한대 또는 무한정밀도를 포함하는 물리적 현상을 모델링하는 데에 반드시 유일하게 적합하지 않다는 것을 시사한다.
• 논문은 극한의 계산적·인지적 타당성이 시간-모나드에 기반할 수 있으며, 이는 고전적 시간 모델의 비아르키메데스적 대안을 제공한다.