[論文レビュー] A biased view of symplectic cohomology

Paul Seidel|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用数 15

ひとこと要約

本論文は、リーマン多様体やその完備化を含む、開いたシンプレクティック多様体に対する強力な不変量としてのシンプレクティックコホモロジーの包括的で主張志向の高い概説を提示する。シンプレクティックトポロジー、代数幾何学、フロア理論との関係を強調し、シンプレクティゼーション、完備化、等長的構造といった主要な構成を導入し、シンプレクティックコホモロジーとループ空間コホモロジー、グロモフ＝ウィトテン不変量を結ぶ非自明性定理およびスペクトル系列を確立する。

ABSTRACT

These are lecture notes from my talks at the "Current Developments in Mathematics" conference (Harvard, 2006). They cover a variety of topics involving symplectic cohomology. In particular, a discussion of (algorithmic) classification issues in symplectic and contact topology is included.

研究の動機と目的

• シンプレクティックトポロジーにおける中心的役割を果たすシンプレクティックコホモロジーを主張するため、その直接的な幾何学的・位相的意義を強調すること。
• 特にアフィン多様体とそのシンプレクティック不変量の研究を通じて、シンプレクティックコホモロジーと代数幾何学を橋渡しすること。
• 非自明性定理およびハンドル付加技術を通じて、シンプレクティックコホモロジーが非自明なトポロジーを検出する役割を明確にすること。
• 特にBVおよび重力代数構造を含む、等長的シンプレクティックコホモロジーに生じる代数的構造を明らかにすること。
• 特にシンプレクティック超曲面における直線の数の文脈で、シンプレクティックコホモロジー作用素とグロモフ＝ウィトテン不変量の深い関係を予想すること。

提案手法

• リーマン領域のシンプレクティゼーションによる完備化を用いて、完成多様体の不変量としてシンプレクティックコホモロジーを定義する。
• 完成多様体上でハミルトニアンフロア理論を適用し、自己同型ハミルトニアンの周期的軌道を介してシンプレクティックコホモロジーを定義する。
• 作用フィルトレーションからのスペクトル系列を用いて、シンプレクティックコホモロジーと自由ループ空間コホモロジーを関係付ける。
• $S^1$-等長的シンプレクティックコホモロジーを導入し、リー代数構造や重力代数作用を含むより豊かな代数的構造に到達する。
• 穴あきリーマン面のモジュライ空間（例：3個の穴あきディスク）を用いて、等長的係数を伴うシンプレクティックコホモロジーへの作用を定義する。
• 特に$M = D^*S^2$の場合、シンプレクティックコホモロジーと球体バンドルの自由ループ空間のホモロジーとの対応関係に依拠し、結果の計算と解釈を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックコホモロジーは、特に補助的ステイン多様体と比較して、リーマン領域の非自明なトポロジーをどのように検出するのか？
• RQ2 シンプレクティックコホモロジーは、ブレード群のデータを用いて構成された$D^6$上の異種構造をどの程度検出できるのか？
• RQ3 S^1-等長的シンプレクティックコホモロジーの正確な代数的構造は何か？ 重力代数やループ空間ホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 リー代数構造などのシンプレクティックコホモロジー作用素は、擬全純直線の数のようなグロモフ＝ウィトテン不変量を回復できるか？
• RQ5 シンプレクティックコホモロジーにおけるスペクトル系列は、ループ空間における古典的モース＝ボットスペクトル系列をどのように反映するのか？ また、$u$作用の役割は何か？

主な発見

• M = D^*S^2 の場合、S^1-等長的シンプレクティックコホモロジー $SH^{*}_{eq}(M)$ は、等長的ホモロジー $H_{-*}^{eq}\left(\tilde{L}S^2\right)$ に同型であり、スペクトル系列はモース＝ボットスペクトル系列を回復する。
• スペクトル系列 $E_1^{pq}$ には、$r \geq 1$ に対して非自明な微分 $d_r: E_r^{-r,-r-1} \to E_r^{0,-2r}$ が存在し、これが唯一の非ゼロ微分であり、既知のループ空間ホモロジー計算と一致する。
• リー代数構造 $SH^{*}_{eq}(M)[2-n]$ は、等長的係数を伴う3個の穴あきディスクのモジュライ空間から生じ、これは次数付きリー代数構造をもたらす。
• 写像 $H^{*+n}(M;\mathbb{K}) \to SH^{*}_{eq}(M)$ の像は退化したイデアルに属し、これにより他のすべての要素と自明に括弧積をとることになる。
• k=1 の場合、微分 $d_1: E_1^{-1,-n} \to E_1^{0,-n}$ は、一般点を通る直線の数であるグロモフ＝ウィトテン不変量 $\Psi$ による乗法と予想されている。
• k=2 の場合、スペクトル系列は、$H^0(D;\mathbb{K})^{\bigotimes 2} \to H^0(M;\mathbb{K})$ のような可能性のあるリー代数構造写像を示唆しており、これは $2\Psi$ を表す可能性があり、より高次の種数不変量との関係を示唆する。