[論文レビュー] A continuity method to construct canonical metrics

Gabriele La Nave, Gang Tian|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間パラメータ化された複素Monge-Ampère方程式の族を解くことで、コンpaktoなKähler多様体上に正則計量を構成するための新しい連続的技法を導入する。この手法により、リッチ曲率が一様に有界であることが保証される。主な結果は、時間 $ T $ までで最大解が存在することであり、その極限計量は基底被覆集合の外で滑らかであり、一般化されたKähler-Einstein方程式を満たす。これは、解析的最小モデルプログラムにおけるKähler-Ricci流れの代替手法を提供する。

ABSTRACT

We introduce a new continuity method which provides an alternative way of carrying out the Analytic Minimal Model Program introduced by G. Tian and J. Song and G. Tian. This equation -- unlike the Ricci flow -- has the advantage of having Ricci curvature bounded from below along the deformation, so that the compactness theory of Cheeger-Colding-Tian for Kaehler manifolds and the partial $C^0$-estimate, can be applied.

研究の動機と目的

• 解析的最小モデルプログラムにおける正則計量の構成のためのKähler-Ricci流れの代替手法を開発すること。
• 一様に有界なリッチ曲率を満たす計量の連続的経路に対して、最大解時間 $ T $ の存在を確立すること。
• 極限計量 $ \omega_T $ が基底被覆集合の外で滑らかであり、正則部分上で一般化されたKähler-Einstein方程式を満たすことを証明すること。
• フリップと手術を用いた計量の崩壊のプログラムを提案し、Kähler-Ricci流れと手術を併用した場合に類似するものとすること。
• Kodaira次元に応じて、計量の漸近的収束がCalabi-Yau計量または一般化されたKähler-Einstein計量に至ることを予想すること。

提案手法

• 1パラメータ族の方程式 $ \omega_t = \omega_0 - t \, \text{Ric}(\omega_t) $ を用い、$ [\omega_t] = [\omega_0] - t c_1(M) $ としてKähler類が線形に変形されることを特徴とする。
• 問題は、$ \tilde{\omega}_t = \omega_0 - t\psi $ および $ \psi \in c_1(M) $ である複素Monge-Ampère方程式 $ (\tilde{\omega}_t + t\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u)^n = e^u \Omega $ に還元される。
• 解の存在は連続的技法により証明され、解集合が $ [0, T) $ で開かつ閉であることが示され、$ T $ は $ [\omega_0] - t c_1(M) > 0 $ を満たす $ t $ の上界として定義される。
• 近傍 $ T $ における下からの有界なリッチ曲率は、コンパクト性理論（Cheeger-Colding-Tian）と部分的 $ C^0 $-推定の適用を可能にする。
• 極限計量 $ \omega_T $ が $ M \setminus \mathcal{S} $ で滑らかであることが示され、ここで $ \mathcal{S} $ は $ [\omega_0] - T c_1(M) $ の基底被覆集合である。
• この手法は、フリップと手術による計量の崩壊のプログラムへの拡張が可能であり、Kodaira次元に応じて一般化されたKähler-Einstein計量への予想的収束が提示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的最小モデルプログラムにおいて、一様に有界なリッチ曲率を保証し、コンパクト性議論を可能にする連続的技法を構築できるか？
• RQ2 連続的経路 $ \omega_t = \omega_0 - t \, \text{Ric}(\omega_t) $ が滑らかな解を有する最大時間 $ T $ は何か？
• RQ3 極限計量 $ \omega_T $ が弱いKähler計量として存在し、基底被覆集合の外で滑らかであり、一般化されたKähler-Einstein方程式を満たすか？
• RQ4 この手法は、Kähler-Ricci流れと手術に類似したフリップと手術を含める形に拡張可能か？
• RQ5 時間 $ t \to \infty $ における $ \omega_t $ の漸近的挙動は何か？特にKodaira次元および一般化されたKähler-Einstein計量との関係は？

主な発見

• 最大解時間 $ T $ は $ T = \sup\{ t \mid [\omega_0] - t c_1(M) > 0 \} $ として定義され、解 $ \omega_t $ は $ M \times [0, T) $ 上で滑らかに存在する。
• もし $ T < \infty $ かつ $ ([\omega_0] - T c_1(M))^n > 0 $ ならば、$ \omega_t $ は弱いKähler計量 $ \omega_T $ に収束し、$ \mathcal{S} $ が $ [\omega_0] - T c_1(M) $ の基底被覆集合であるとき、$ M \setminus \mathcal{S} $ で滑らかである。
• 極限計量 $ \omega_T $ は $ M \setminus \mathcal{S} $ で $ \omega_T = \omega_0 - T \, \text{Ric}(\omega_T) $ を満たし、$ T $ の近傍で $ \omega_t $ のリッチ曲率が一様に下から有界である。
• $ t \in (0, T) $ に対して、$ (M, \omega_t) $ の直径は一様に有界であると予想され、Gromov-Hausdorff収束により $ (M \setminus \mathcal{S}, \omega_T) $ の完備化である計量空間 $ (M_T, d_T) $ に収束する。
• $ T = \infty $ の場合、スケーリングされた計量 $ t^{-1} \omega_t $ は、特に $ (-c_1(M))^n > 0 $ のとき、$ M $ の正規化モデル上で一般化されたKähler-Einstein計量に収束すると予想される。
• 本稿では、$ \kappa(M) = 0 $ の場合、$ \omega_t $ が $ M \setminus \mathcal{D} $ 上で滑らかにCalabi-Yau計量に収束することを予想し、$ \kappa(M) = n $ の場合、$ t^{-1} \omega_t $ がスカラー曲率 $ -n $ のKähler-Einstein計量に収束し、Gromov-Hausdorff収束によりコンパクトな計量空間に至るとする。