[论文解读] A Criterion For Ergodicity of Non-uniformly hyperbolic Diffeomorphisms

Federico Rodriguez Hertz, M. A. Rodriguez Hertz+2 more|ArXiv.org|Oct 11, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 9

一句话总结

该论文通过结合李雅普诺夫指数条件与不变流形的拓扑结构，特别是通过喷射体（blenders）的存在，为非一致双曲微分同胚建立了新的遍历性准则。它证明了在 $C^1$-泛型条件下，具有二维中心丛的偏双曲保守微分同胚具有稳定遍历性，并证明了横截性表面微分同胚的SRB测度唯一性。

ABSTRACT

In this work we exhibit a new criteria for ergodicity of diffeomorphisms involving conditions on Lyapunov exponents and general position of some invariant manifolds. On one hand we derive uniqueness of SRB-measures for transitive surface diffeomorphisms. On the other hand, using recent results on the existence of blenders we give a positive answer, in the $C^1$ topology, to a conjecture of Pugh-Shub in the context of partially hyperbolic conservative diffeomorphisms with two dimensional center bundle.

研究动机与目标

• 基于李雅普诺夫指数与不变流形几何结构，为非一致双曲微分同胚建立新的遍历性准则。
• 在 $C^1$ 拓扑下，解决具有二维中心丛的偏双曲保守微分同胚的 Pugh-Shub 猜想。
• 在 $C^{1+}$ 正则性条件下，证明横截性表面微分同胚的SRB测度唯一性。
• 证明：在较弱的动力学条件下，若存在 $cs$- 和 $cu$- 喷射体且它们彼此同调相关，则稳定遍历性成立。

提出的方法

• 使用一种将李雅普诺夫指数与稳定与不稳定流形的一般位置联系起来的准则，以推断遍历性。
• 应用保守 $C^{1+}$ 微分同胚的连接引理，实现周期点之间的同调交叉。
• 采用保守版本的 Mañé 的遍历闭合引理与 Frank 引理，对微分同胚进行扰动，同时保持体积与动力学不变。
• 通过具有实中心特征值的共指数一周期环，在 $C^1$ 拓扑下构造 $cs$- 与 $cu$- 喷射体。
• 利用 Bochi-Viana 的结果：当不存在支配分解时，可构造具有正李雅普诺夫指数的微分同胚。
• 使用 Sard 定理处理非 Kupka-Smale 系统，确保尽管存在可能的切触，仍能实现横截相交。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种李雅普诺夫指数与不变流形结构条件下，可保证非一致双曲微分同胚的遍历性？
• RQ2 在 $C^1$ 拓扑下，是否可验证具有二维中心丛的偏双曲系统中 Pugh-Shub 猜想的稳定遍历性？
• RQ3 当 $cs$- 与 $cu$- 喷射体存在且彼此同调相关时，是否可推出稳定遍历性？
• RQ4 对于横截性 $C^{1+}$ 表面微分同胚，SRB 测度的数量是否唯一确定？
• RQ5 在缺乏 Kupka-Smale 条件时，如何确保不稳定流形与稳定流形之间的横截相交？

主要发现

• 本文证明，任意 $C^{1+}$ 横截性表面微分同胚最多具有一个 SRB 测度，从而确立了唯一性。
• 对于 $C^{1+}$ 保守横截性表面微分同胚，若不存在多个 SRB 测度，则系统必为遍历的，因此此类系统是遍历的。
• 在 $C^1$ 拓扑下，任意 $C^1$-泛型的偏双曲保守微分同胚，若其中心丛维数为 2，则具有稳定遍历性。
• 若存在一个稳定维数为 $s+1$ 的 $cs$- 喷射体与一个不稳定维数为 $u-1$ 的 $cu$- 喷射体，且二者同调相关，则可推出稳定遍历性。
• 当中心丛不允许可分的分解时，可通过 $C^1$-扰动构造出正的中心李雅普诺夫指数，从而可应用定理 1.1。
• 本文在 $C^1$ 框架下确认了 Pugh-Shub 猜想：对于具有 $ ext{dim}(E^c) = 2$ 的偏双曲保守微分同胚，若满足本质可达性条件且存在喷射体，则该猜想成立。