[论文解读] A Decidable Fragment of Second Order Logic With Applications to Synthesis

P. Madhusudan, Umang Mathur+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文提出了EQSMT，这是一种具有第一阶、关系和函数变量的∃∗∀∗量词前缀的多排序二阶逻辑的可判定片段。它通过将可满足性问题归约为背景理论（如线性算术）上的可判定∃∗∀∗查询，利用黑箱SMT求解器，从而为带有可判定性保证的自动化程序综合提供了一个实用框架。

ABSTRACT

We propose a fragment of many-sorted second order logic called EQSMT and show that checking satisfiability of sentences in this fragment is decidable. EQSMT formulae have an $\exists^*\forall^*$ quantifier prefix (over variables, functions and relations) making EQSMT conducive for modeling synthesis problems. Moreover, EQSMT allows reasoning using a combination of background theories provided that they have a decidable satisfiability problem for the $\exists^*\forall^*$ FO-fragment (e.g., linear arithmetic). Our decision procedure reduces the satisfiability of EQSMT formulae to satisfiability queries of $\exists^*\forall^*$ formulae of each individual background theory, allowing us to use existing efficient SMT solvers supporting $\exists^*\forall^*$ reasoning for these theories; hence our procedure can be seen as effectively quantified SMT (EQSMT) reasoning. Errata: We have modified the transformation step-2 (page 9) to correct for a slight error. Also, the description above Theorem 10 is different from the published version.

研究动机与目标

• 开发一种适合表达程序综合问题的可判定二阶逻辑片段。
• 支持对背景理论（例如线性算术、实闭域）组合的推理，其∃∗∀∗片段具有可判定性。
• 设计一种逻辑，支持存在和全称量化的二阶变量（关系和函数），同时确保可判定性。
• 将EQSMT的可满足性问题归约为对各个背景理论求解器的有限次黑箱调用。
• 通过与现有SMT求解器集成，为自动化综合提供实用基础。

提出的方法

• 将EQSMT定义为一种多排序逻辑，包含一个前景排序σ0和背景排序σ1,…,σn，每个背景排序均配备一个背景理论Ti。
• 限制二阶变量：存在量化的关系和函数仅限于仅涉及前景排序σ0的参数和返回类型。
• 确保背景理论的论域互不相交，并仅通过前景排序进行交互，以保持可判定性。
• 使用逻辑约化和基于排序的约束，将EQSMT公式转换为在各个背景理论T1,…,Tn上等价的∃∗∀∗一阶公式。
• 将EQSMT的可满足性问题归约为各个背景理论中∃∗∀∗公式的可满足性问题，从而可使用现有的SMT求解器。
• 通过调用背景理论求解器的黑箱接口来检查转换后公式的可满足性，确保模块化和效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种可判定的二阶逻辑片段，支持程序综合，并与线性算术等背景理论结合？
• RQ2 是否可能在允许对关系和函数进行丰富二阶量化的前提下，确保具有∃∗∀∗量词前缀的二阶逻辑的可判定性？
• RQ3 如何通过前景排序在不破坏可判定性的前提下，协调互不相交的背景理论之间的通信？
• RQ4 EQSMT公式的可满足性能否被归约为具有可判定∃∗∀∗片段的各个背景理论中的可满足性查询？
• RQ5 EQSMT在多大程度上可用于建模和求解涉及未解释函数和算术约束的综合问题？

主要发现

• EQSMT是具有∃∗∀∗量词前缀的第一阶、关系和函数变量的二阶逻辑的可判定片段。
• 该逻辑支持Presburger算术、实闭域和线性实算术等背景理论，前提是其∃∗∀∗片段具有可判定性。
• EQSMT公式的可满足性可归约为对各个背景理论的有限次可满足性查询，从而可使用现有的SMT求解器。
• 该决策过程依赖于对背景理论求解器的黑箱调用，使其在模块化和与现有SMT技术集成方面具有实用性。
• 通过限制二阶变量类型并强制背景理论与前景排序之间的论域互不相交，该逻辑避免了不可判定性。
• 该框架支持涉及未解释函数和算术的综合问题，为不可判定的二阶逻辑扩展提供了一种可判定的替代方案。