[論文レビュー] A model 2-category of enriched combinatorial premodel categories

Reid William Barton|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、可換な前モデル圏の2-圏を、可解な対称モノイダルモデル圏 V に倣って enrich された、2-圏の構造として構築する。これはホモトピー理論における基礎的問題を解決するものであり、モデル圏の2-圏が引き戻しを持たないため、モデル2-圏構造を支持できないことを示している。主な貢献は、2つのネストされた弱ファクタリゼーション系を持つ前モデル圏の導入であり、これにより、2-圏 V CPM がすべての極限・余極限およびテンソル積を備え、Quillen同値とファイブレーションを用いたホモトピー理論が可能となる、良好に扱える2-圏を構成する。

ABSTRACT

In his book on model categories, Hovey asked whether the 2-category $\mathbf{Mod}$ of model categories admits a "model 2-category structure" whose weak equivalences are the Quillen equivalences. We show that $\mathbf{Mod}$ does not have pullbacks and so cannot form a model 2-category. This lack of pullbacks can be traced to the two-out-of-three axiom on the weak equivalences of a model category. Accordingly, we define a premodel category to be a complete and cocomplete category equipped with two nested weak factorization systems. Combinatorial premodel categories form a complete and cocomplete closed symmetric monoidal 2-category $\mathbf{CPM}$ whose tensor product represents Quillen bifunctors. For a monoidal combinatorial premodel category $V$, the 2-category $V\mathbf{CPM}$ of $V$-enriched combinatorial premodel categories is simply the category of modules over $V$ (viewed as a monoid object of $\mathbf{CPM}$), and therefore inherits the algebraic structure of $\mathbf{CPM}$. The homotopy theory of a model category depends in an essential way on the weak equivalences, so it does not extend directly to a general premodel category. We develop a substitute homotopy theory for premodel categories satisfying an additional property which holds automatically for model categories and also for premodel categories enriched in a monoidal model category. In particular, for a monoidal model category $V$, we obtain a notion of Quillen equivalence of $V$-premodel categories which extends the one for $V$-model categories. When $V$ is a tractable symmetric monoidal model category, we construct a model 2-category structure on $V\mathbf{CPM}$ with these Quillen equivalences as the weak equivalences, by adapting Szumiło's construction of a fibration category of cofibration categories.

研究の動機と目的

• モデル圏の2-圏（Mod）が引き戻しを持たず、したがってモデル2-圏構造を支持できないという基礎的問題に対処すること。
• 2-3の法則を満たさないが、代わりに代数的構造を保ちつつ、Mod における極限を妨げる要因を回避する前モデル圏をモデル圏の一般化として提案すること。
• 可解な対称モノイダルモデル圏 V に対して、可換な V-前モデル圏の2-圏 V CPM にモデル2-圏構造を構築すること。
• 追加の公理を満たす場合に、前モデル圏に対してホモトピー理論を定義すること。この公理は、モノイダルモデル圏に enrich された場合に自動的に成立する。
• V CPM が CPM（可換な前モデル圏の2-圏）の代数的構造を引き継ぎ、Quillen同値を弱同値として持つ完全なモデル2-圏構造を支持することを確立すること。

提案手法

• モデル圏を一般化するために、2つのネストされた弱ファクタリゼーション系を持つ完備かつ余完備な圏として前モデル圏を導入する。
• 生成コフェイブレーションと自明コフェイブレーションが小さなランクを持つ集合を持つことにより、良い集合論的制御を得られる、組合せ的前モデル圏を定義する。
• すべての極限・余極限および内部Homに随伴するテンソル積を持つ2-圏 CPM を構成し、豊饗圏論を可能にする。
• Szumiło のファイブレーション圏構成法を適応し、可解な対称モノイダルモデル圏 V に対して V CPM にモデル2-圏構造を定義する。
• 組合せ的性のランク解析に基づく技術的変種である「巨大小対象の方法（large small object argument）」を導入し、V CPM 内でのファクタリゼーションを構成する。
• 写像経路圏構成法と衰弱的・飽和的ファクタリゼーションを用いて、(コフェイブレーション, ファイブレーション ∩ 弱同値) および (コフェイブレーション ∩ 弱同値, ファイブレーション) が弱ファクタリゼーション系をなすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル圏の2-圏は、Quillen同値を弱同値として持つモデル2-圏構造を支持できるか？
• RQ2 モデル圏の2-圏がモデル2-圏とならない理由として、何の構造的性質が失われているのか？
• RQ3 2つのネストされた弱ファクタリゼーション系を持つ前モデル圏は、極限と代数的構造を回復するための適切な一般化として機能するか？
• RQ4 可解な対称モノイダルモデル圏 V に対して、可換な V-前モデル圏の2-圏 V CPM はモデル2-圏構造を備えているか？
• RQ5 前モデル圏に対してホモトピー理論をどのように定義できるか？ また、古典的モデル圏のホモトピー理論に拡張される条件は何か？

主な発見

• 本稿では、反例を提示することで、モデル圏の2-圏 Mod が引き戻しを持たず、したがってモデル2-圏とはなり得ないことが示されている。
• 組合せ的前モデル圏の2-圏 CPM はすべての小さな極限・余極限を備え、内部Homに随伴するテンソル積も持つため、良好に扱える2-マルチ圏である。
• 可解な対称モノイダルモデル圏 V に対して、可換な V-前モデル圏の2-圏 V CPM は、Quillen同値を弱同値、コフェイブレーションをコフェイブレーション、ファイブレーションをファイブレーションとするモデル2-圏構造を備える。
• V CPM 内のアナディン・コalesセンス（アナディン・コフェイブレーション）は、コフェイブレーションかつ弱同値である射として特徴づけられ、再帰公理は再帰的議論により満たされる。
• 経路圏ファクタリゼーションと写像経路圏構成法を用いて、ファイブレーション対象間の任意の射を、Quillen同値の後にファイブレーションが続く形にファクタライズでき、必要なファクタリゼーション系の存在が確認された。
• 組合せ的性のランク解析に基づく「巨大小対象の方法」により、集合論的障害にもかかわらず、V CPM 内でのファクタリゼーションが構成可能となり、重要な技術的課題が解決された。