[論文レビュー] A necessary and sufficient condition for minimum phase and implications for phase retrieval

Antonio Mecozzi|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 17被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、解析接続を必要とせず、時間領域での信号の振る舞いを分析することにより、帯域制限信号が最小位相であるための新しい実用的で必要十分な条件を提示する。この条件により、強度のみからの一意的な位相再構成が可能となる。主な貢献は、時間領域信号 $E(t)$ にのみ依存する条件であり、ナイキスト安定性基準に類似したもので、正確な位相再構成を可能にし、強度検出のみを用いた位相干渉通信方式の実現を可能にする。

ABSTRACT

We give a necessary and sufficient condition for a function $E(t)$ being of minimum phase, and hence for its phase being univocally determined by its intensity $|E(t)|^2$. This condition is based on the knowledge of $E(t)$ alone and not of its analytic continuation in the complex plane, thus greatly simplifying its practical applicability. We apply these results to find the class of all band-limited signals that correspond to distinct receiver states when the detector is sensitive to the field intensity only and insensitive to the field phase, and discuss the performance of a recently proposed transmission scheme able to linearly detect all distinguishable states.

研究の動機と目的

• 帯域制限信号が最小位相であるための実用的で必要十分な条件を導出すること。これにより、強度 $|E(t)|^2$ のみから位相が一意に復元可能であることを保証する。
• 複素平面における解析接続の必要性を排除すること。これは数値的に不安定で、現実の信号には実用的でない。
• 時間領域信号 $E(t)$ にのみ依存する条件を提供することにより、実験的およびデジタル信号処理への直接適用を可能にする。
• 強度のみによる検出下での光学通信における区別可能な帯域制限信号の集合を同定するためにこの条件を応用する。
• 近年提案されたKK伝送方式の性能を評価すること。この方式は、強度検出のみの受信機を用いて、すべての区別可能な状態を線形検出可能にする。

提案手法

• 時間領域信号 $E(t)$ に基づく最小位相の必要十分条件を、ヒルベルト変換およびクライマー＝クロニッカー関係を用いて導出する。
• 係数 $a_n$ がコンパクトにサポートされ、特定のパルス形状 $H_\beta(t)$ を持つ信号のクラス $\tilde{\mathcal{C}}_{\beta}(0,B)$ を導入し、帯域制限および最小位相特性を保証する。
• 信号軌道 $E(t)$ が複素平面で原点の周りを巻き込むかどうかを検出することで、位相の曖昧さを特定する。
• 原点からの距離を制御するバイアスパrameter $b_0$ を用い、巻き込みがないようにすることで、曖昧さのない位相再構成を可能にする。
• ローレンツ近似を用いた数値補間により、直接的な解析接続を避けて下半平面におけるゼロ点を特定する。
• 16QAMおよび8AM信号の例を用いて手法を検証し、巻き込みなしの条件を満たす場合、場と位相が完全に再構成されることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間領域信号 $E(t)$ のみを用いて、解析接続を必要とせずに最小位相の必要十分条件を導出可能か？
• RQ2 $E(t)$ にどのような実用的条件を課すと、その位相が $|E(t)|^2$ のみから一意に決定可能になるか？
• RQ3 複素平面における $E(t)$ の軌道が原点の周りを巻き込まないことは、曖昧さのない位相再構成を保証するためにどのように利用可能か？
• RQ4 光学通信システムにおいて強度検出のみを用いた場合に、区別可能なまま残る帯域制限信号のクラスは何か？
• RQ5 提案された条件を用いて、強度検出のみの受信機を用いた線形検出を可能にするKK伝送方式の検証または性能向上が可能か？

主な発見

• 本稿では、複素平面における解析接続を必要とせず、時間領域信号 $E(t)$ にのみ依存する最小位相の必要十分条件を確立した。
• この条件は、複素平面における $E(t)$ の軌道が原点の周りを巻き込まないことに等しく、これにより強度のみからの曖昧さのない位相再構成が保証される。
• この手法により、強度測定からの複素場および位相の正確な再構成が可能であることが、16QAMおよび8AM信号の例で完全な一致を示して検証された。
• $|E_s(t)|^2 < \overline{E}^2$ の条件が満たされない場合でも、巻き込みがなければ位相再構成は正確に保たれる。これは、巻き込み条件が必要かつ十分であることを示している。
• 提案された条件は、従来の十分条件（下半平面にゼロがないこと）を包含し、一般化したものである。
• KK伝送方式が、提案された最小位相条件のおかげで、強度検出のみを用いて区別可能なすべての帯域制限信号を復調可能であることが示された。