[論文レビュー] A New Approach to Generalised Uncertainty Relations

Matthew J. Lake|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2020

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 64被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、可換関係を変更するのではなく、時空幾何の量子自由度を導入することで、一般化された不確定性関係の新しいアプローチを提案する。空間的背景を自身の状態ケットを持つ量子的対象として取り扱うことで、可換関係を変更せずに自然に拡張一般化不確定性原理（EGUP）が得られ、等価原理を破らず、速度に依存する最小長を導入しない。一方で、物質とは異なるスケールで空間が量子化されており、幾何的量子がフェルミオンであると示唆する。

ABSTRACT

We outline a new model in which generalised uncertainty relations are obtained without modified commutation relations. While existing models introduce modified phase space volumes for the canonical degrees of freedom, we introduce new degrees of freedom for the background geometry. The phase space is therefore enlarged but remains Euclidean. The spatial background is treated as a genuinely quantum object, with an associated state vector, and the model naturally gives rise to the extended generalised uncertainty principle (EGUP). Importantly, this approach solves (or rather, evades) well known problems associated with modified commutators, including violation of the equivalence principle, the `soccer ball' problem for multiparticle states, and the velocity dependence of the minimum length. However, it implies two radical conclusions. The first is that space must be quantised on a different scale to matter and the second is that the fundamental quanta of geometry are fermions. We explain how, in the context of the model, these do not contradict established results including the no go theorems for multiple quantisation constants, which still hold for species of material particles, and the spin-$2$ nature of gravitons.

研究の動機と目的

• 可換関係を変更するモデルに伴う長年の問題、例えば等価原理の破れや「サッカーボール問題」を解決すること。
• 位相空間のユークリッド的構造を保ちながら、量子幾何を組み込む一般化不確定性関係の枠組みを構築すること。
• 可換関係を変更するのではなく、根本的に量子的背景幾何から拡張一般化不確定性原理（EGUP）を導出すること。
• 非正準的位相空間構造に依存せずに、量子重力の実験的記述における最小長スケールの問題を扱うこと。
• 根本的に量子的な時空が空間、物質、および基本的量子化スケールの性質に与える影響を調査すること。

提案手法

• 背景幾何のための新しい量子自由度を導入し、時空を真に量子的対象として、自身の状態ケットを持つものとして扱う。
• 位相空間を幾何自由度を含めるように拡大するが、そのユークリッド的構造を保つ。
• 空間的背景をスメアリングすることで、一般化された位置と運動量の不確定性を導出し、拡張GUP（EGUP）を得る。
• 角運動量およびスピンに形式を適用し、量子基準系理論と量子代数の構造と整合していることを示す。
• 空間の点がガウス的スメアリング関数 $ g({f x' - x}) $ を通じて非局所的・非可換的になる非局所的・非可換的幾何モデルを用いる。パラメータ $ \beta $ はプランクスケールに関連する。
• 複数の量子化定数を避ける形で理論を定式化し、重力子がスピン2であるという既知の結果と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位置と運動量の正準可換関係を変更せずに、一般化不確定性関係をどのように導出できるか？
• RQ2 時空幾何を自身の状態ケットを持つ量子的対象として取り扱う場合の物理的・数学的結果は何か？
• RQ3 正準可換関係を変更せず、根本的に量子的背景幾何から拡張一般化不確定性原理（EGUP）を導出できるか。また、等価原理のような主要な対称性を保っているか？
• RQ4 なぜこのモデルが空間が物質とは異なるスケールで量子化されていると示唆するのか。また、複数の量子化定数に関するノーガ・定理と矛盾しないのか？
• RQ5 有効場理論における重力子がスピン2であるのに対し、幾何的量子がフェルミオンであるという性質をどのように整合させるか？

主な発見

• 本モデルは、正準可換関係を変更せず、空間的背景の量子自由度を導入することで、拡張一般化不確定性原理（EGUP）を導出する。
• 位相空間はユークリッド的ままであり、本モデルは可換関係を変更する手法で一般的に見られる「サッカーボール問題」と速度依存最小長の問題を回避する。
• 本モデルは、空間が物質とは異なるスケールで量子化されており、幾何の基本的量子がフェルミオンであると示唆する。
• この理論は、複数の量子化定数に関するノーガ・定理を回避する。その根拠は、このような定数が物質粒子にのみ適用され、幾何自由度には適用されない点にある。
• 幾何的量子のフェルミオン的性質はパウリの排他原理と整合しており、縮重圧によって空間の非局所的状態が安定化される可能性がある。
• プランクスケールに関連するパラメータ $ \beta $ は、観測された真空中エネルギー密度 $ \rho_\Lambda $ と関連しており、宇宙論的現象との実験的関係を示唆している。