[論文レビュー] A new computational approach to ideal theory in number fields

Jordi Guàrdia, Jesús Sanz Montes+1 more|RECERCAT (Consorci de Serveis Universitaris de Catalunya)|May 7, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、定義多項式の判別式の因数分解や最大順序の計算を回避する、数体における理想論のための新しい計算枠組みを提示する。モンテスアルゴリズムと高次のノルム多角形を用いたオクツー＝モンテス表現により、分数イデアルの評価、因数分解、加法・乗法などの直接的かつ高速な操作が可能になる。同時に、p-整基底および局所体基底が副産物として得られる。

ABSTRACT

Let $K$ be the number field determined by a monic irreducible polynomial $f(x)$ with integer coefficients. In previous papers we parameterized the prime ideals of $K$ in terms of certain invariants attached to Newton polygons of higher order of the defining equation $f(x)$. In this paper we show how to carry out the basic operations on fractional ideals of $K$ in terms of these constructive representations of the prime ideals. From a computational perspective, these results facilitate the manipulation of fractional ideals of $K$ avoiding two heavy tasks: the construction of the maximal order of $K$ and the factorization of the discriminant of $f(x)$. The main computational ingredient is Montes algorithm, which is an extremely fast procedure to construct the prime ideals.

研究の動機と目的

• 最大順序の計算や定義多項式の判別式の因数分解といった重いタスクを回避する、数体における理想論の計算枠組みの開発。
• 高次のノルム多角形から得られる構成的表現を用いて、素イデアルの直接的取り扱いを可能にする。
• 線形代数手法に依存せずに、評価、因数分解、加法、乗法、共通部分、還元写像、中国剰余定理といった基本的イデアル演算を高速に実行するアルゴリズムの提供。
• 素イデアルの構成の副産物として、p-整基底および局所体基底を導出することで、数体の算術計算の効率を向上させる。
• この枠組みを関数体および曲線の除数論に拡張し、リーマン・ロッホ空間やヤコビ群の演算への応用を想定する。

提案手法

• モンテスアルゴリズムを用いて、f(x) の modulo p における既約因子をパrameter化する f-完全かつ最適な型を計算し、それらが p 上の素イデアルに対応することを保証する。
• 各素イデアル 𝔭 をそのオクツー＝モンテス形式で表現する： 𝔭 = [p; φ₁, ..., φᵣ, φₚ]。ここで φᵢ は ℤₚ[x] 上で既約であり、φₚ は p-進既約因子のモンテス近似である。
• 高次のノルム多角形を用いてオクツー不変量を計算し、それらが素イデアルに関する本質的な算術的データを符号化することを保証する。
• オクツー＝モンテス表現を用いて素イデアルの因数分解を構成することで、整基底の計算を経由せずに分数イデアルの直接的算術が可能になる。
• 型の構成中に得られる局所構造を用いて、p-進評価および還元写像を計算する。
• 素イデアルの構成中に ℤₚ-基底が得られることを活用し、効率的な p-整基底の計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大順序の構成や定義多項式の判別式の因数分解を経由せずに、分数イデアルの演算を効率的に計算できるか？
• RQ2 ノルム多角形理論と高次の不変量を用いて、数体における素イデアルを構成的に表現できるか？
• RQ3 オクツー＝モンテス表現が、評価、因数分解、分数イデアルの算術演算を高速に実行するのに有効であるか？
• RQ4 数体の局所構造をどの程度活用して、定義多項式から直接 p-整基底および局所体基底を計算できるか？
• RQ5 この枠組みを関数体に拡張し、除数類群の演算やリーマン・ロッホ空間を効率的に計算できるか？

主な発見

• モンテスアルゴリズムは、δ = log|disc(f)| とすると、O(n³⁺ᵋδ + n²⁺ᵋδ²⁺ᵋ) 時間で素イデアル分解を計算でき、従来の方法に比べて著しく高速である。
• 判別式のサイズが約 2²⁶⁸ である 20 次の数体に対して、p=2 における完全な素分解（判別式計算および p-整基底を含む）を 0.3 秒で計算した。
• 2-整基底を 0.02 秒で計算できたが、これは同時に全域整基底でもあった。一方、Magma は最大順序の計算にも 5.8 秒を要した。
• オクツー＝モンテス表現により、素イデアルの構成中に ℤₚ-基底が直接得られ、p-整基底の高速導出が可能になる。
• 評価、因数分解、加法、乗法、共通部分、還元写像、中国剰余定理といったすべての標準的イデアル演算が、表現から直接実行可能である。
• この枠組みは関数体へ自然に拡張可能であり、除数算術を効率的に行い、高次曲線のリーマン・ロッホ空間や Pic⁰(C) の計算への応用が期待できる。