[論文レビュー] A new explicit way of obtaining special generic maps into the 3-dimensional Euclidean space

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元多面体上の擬商写像と局所的貼り合わせ技術を用いて、閉多様体から3次元ユークリッド空間への特別な一般写像の新しい明示的構成法を提示する。主な貢献は、このような写像を体系的に構築できることを示したことであり、特に、5次元および6次元の単連結多様体がこれらの写像を許容するならば標準球面であることが判明し、4次元の場合は可定向性条件のもとで標準球面またはエキゾチック球面である。

ABSTRACT

A special generic map is a smooth map regarded as a natural generalization of Morse functions with just 2 singular points on homotopy spheres. Canonical projections of unit spheres are simplest examples of such maps and manifolds admitting special generic maps into the plane are completely determined by Saeki in 1993 and ones admitting such maps into general Euclidean spaces are determined under appropriate conditions. Moreover, if the difference of dimensions of source and target manifolds are not so large, then the diffeomorphism types of source manifolds are often limited. These explicit facts make special generic maps attractive objects in the theory of Morse functions and higher dimensional versions and application to algebraic and differentiable topology of manifolds, which is an important study in both singuarity theory of maps and algebraic and differential topology of manifolds. In this paper, we demonstrate a way of construction of special generic maps into the 3-dimensional Euclidean space. For this, first we prepare maps onto 2-dimensional polyhedra regarded as simplicial maps naturally called pseudo quotient maps, which are generalizations of the quotient maps to the spaces of all the connected components of inverse images, so-called Reeb spaces of original smooth maps, being fundamental and important tools in the studies. The success of the construction explicitly shows that a class of maps which seems to cover a larger class of source manifolds may not be not so large and that the diffeomorphism types of source manifolds may be restricted as strongly as special generic maps. We also explain differential topological facts and problems related to this.

研究の動機と目的

• 3次元ユークリッド空間への特別な一般写像を構成する新しい明示的手法を開発すること。
• 特に低次元において、このような写像を許容する多様体の微分同相型を調査すること。
• 特別な一般写像の存在が引き起こす位相的および微分的制約を明確にすること。
• 折り畝写像、リーマン空間、および元の多様体分類の関係をより深く理解すること。

提案手法

• 滑らかな写像のリーマン空間の一般化として、2次元多面体への擬商写像を構築すること。
• 3次元多様体への折り畝写像の局所的モデルを用いて、貼り合わせ技術によりグローバルな写像を構築すること。
• 安定な折り畝写像およびその特異点集合の理論を適用し、特にインデックス0の特異点に注目すること。
• ホモトピー球面および4次元多様体に関する既知の結果を活用して、元の多様体の型を制約すること。
• 特に5次元において、π₁(SO(4))を用いたS³のπ₁(SO(4))のsurjectivityを活用して、モノドロミーとホモトピー群の考察を高次元で行うこと。
• SaekiおよびWrazidloによる既知の分類結果と整合することを確認することで、構成を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多面体的リーマン空間を用いて、R³への特別な一般写像を体系的かつ明示的に構成することは可能か？
• RQ2 特に次元4、5、6において、R³への特別な一般写像を許容する閉多様体の微分同相型は何か？
• RQ3 可定向性およびホモロジー的条件（例：H₂の消滅）は、このような多様体の分類にどのように影響するか？
• RQ4 R³への特別な一般写像による元の多様体への制約は、R⁴やR²へのものとどの程度一致するか？
• RQ5 エキゾチック4次元球面や非標準的7次元球面のような既知のケースを超えて、この構成法を一般化できるか？

主な発見

• 次元5および6において、特別な一般写像をR³に許容する任意の単連結な閉多様体は、標準球面と微分同相である。
• 4次元の単連結多様体がこのような写像を許容する場合、ターゲットの多面体が可定向である限り、元の多様体は標準球面またはS⁴である。
• 構成法により、R³への特別な一般写像を許容する多様体のクラスが以前に予想された以上に大きくないことが確認され、微分同相型に強い制約があることが示された。
• 本手法により、例えばピンクの家のような特異点集合に球面と二重点を含む非自明な多面体に対しても写像を実際に実現できた。
• 5次元において、微分構造の一意性により、低次元と同様に構成を進めることができ、モノドロミーの制約はπ₁(SO(2)) → π₁(SO(4))の全射性により解消された。
• 結果はSaekiの分類と整合する：5次元の単連結多様体がR³への特別な一般写像を許容するための必要十分条件は、S³バンドルをS²上で連結和したものの直和であること。