[论文解读] A New Perspective on the Windows Scheduling Problem

Tobias Jacobs, Salvatore Longo|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2014

Real-Time Systems Scheduling参考文献 16被引用 12

一句话总结

本文引入了部分编码（Partial Coding）问题作为新的组合框架，以重新表述具有精确周期的Windows调度问题，实现了两者之间的多项式时间归约。主要贡献在于证明：在标准复杂度假设下，即使在单台机器上处理单位长度作业，也无法在伪多项式时间内进行调度；且允许作业迁移的多机情况为co-NP难问题，从而解决了长期存在的开放性问题。

ABSTRACT

The Windows Scheduling Problem, also known as the Pinwheel Problem, is to schedule periodic jobs subject to their processing frequency demands. Instances are given as a set of jobs that have to be processed infinitely often such that the time interval between two consecutive executions of the same job j is no longer than the job's given period $p_j$. The key contribution of this work is a new interpretation of the problem variant with exact periods, where the time interval between consecutive executions must be strictly $p_j$. We show that this version is equivalent to a natural combinatorial problem we call Partial Coding. Reductions in both directions can be realized in polynomial time, so that both hardness proofs and algorithms for Partial Coding transfer to Windows Scheduling. Applying this new perspective, we obtain a number of new results regarding the computational complexity of various Windows Scheduling Problem variants. We prove that even the case of one processor and unit-length jobs does not admit a pseudo-polynomial time algorithm unless SAT can be solved by a randomized method in expected quasi-polynomial time. This result also extends to the case of inexact periods, which answers a question that has remained open for more than two decades. Furthermore, we report an error found in a hardness proof previously given for the multi-machine case without machine migration, and we show that this variant reduces to the single-machine case. Finally, we prove that even with unit-length jobs the problem is co-NP-hard when jobs are allowed to migrate between machines.

研究动机与目标

• 通过一种称为部分编码的新组合模型，重新表述具有精确周期的Windows调度问题。
• 在Windows调度问题与部分编码问题之间，建立双向的多项式时间归约关系。
• 解决关于单位长度作业的单机情况以及允许作业迁移的多机情况的开放性复杂度问题。
• 证明即使对于单位长度作业，允许作业迁移的多机Windows调度问题也是co-NP难的。
• 纠正先前发表的关于非可迁移多机情况的难题证明中的错误，并表明该问题可归约为单机情况。

提出的方法

• 将部分编码问题定义为一种组合抽象模型，其中符号通过具有取值范围的属性进行编码，可区分性取决于共享的属性值。
• 在Windows调度中的作业起始时间与部分编码中的符号编码之间建立双射映射，使得作业冲突恰好对应于不可区分的符号对。
• 利用作业周期的互质分解，将调度实例映射为属性取值范围为素数的的部分编码实例。
• 将$(m+1)$-独立集问题归约为$m$-元部分编码问题，通过多项式时间变换证明co-NP难性。
• 利用部分编码与Windows调度之间的等价性，将难题结果与算法洞见在两者之间相互转移。
• 证明在标准复杂度假设下，单位长度作业的单机情况不存在伪多项式时间算法，除非SAT问题可由随机化准多项式时间算法求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有精确周期的Windows调度问题能否被等价地重新表述为一个组合问题，以实现新的复杂度与算法洞察？
• RQ2 在标准复杂度假设下，单位长度作业的单机Windows调度问题是否可在伪多项式时间内求解？
• RQ3 即使对于单位长度作业，允许作业迁移的多机Windows调度问题是否为co-NP难问题？
• RQ4 非可迁移多机变体是否可归约为单机情况？先前声称的难题证明是否有效？
• RQ5 部分编码框架能否用于推导Windows调度特殊情形的新近似算法或积极结果？

主要发现

• 具有精确周期的Windows调度问题与部分编码问题通过双向多项式时间归约等价。
• 在标准复杂度假设下，单位长度作业的单机Windows调度问题不存在伪多项式时间算法，除非SAT问题可被随机化准多项式时间算法在期望下求解。
• 即使对于单位长度作业，允许作业迁移的多机Windows调度问题也是co-NP难的，确立了强复杂度障碍。
• 在此设定下，该问题同时为NP难与co-NP难，意味着其不属于NP或co-NP，除非NP = co-NP。
• 先前声称的关于非可迁移多机情况的难题证明存在错误，该变体可归约为单机情况。
• 部分编码框架为未来算法开发提供了基础，包括近似算法以及具有常数个不同作业类型的实例的高效解法。