[論文レビュー] A note on planar partial 3-trees

Jan Kratochvı́l, Michal Vaner|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、3つの頂点以上の平面的部分3木が、元の平面的埋め込みを保ったまま、平面的3木のスパニング部分グラフであることを証明している。主な貢献は、元の非交差描画を常に保ちながら、頂点を追加せず辺のみを追加することで入力グラフを平面的3木に拡張する明示的な帰納的構成法である。

ABSTRACT

It implicitly follows from the work of [Colbourn, El-Mallah: On two dual classes of planar graphs. Discrete Mathematics 80(1): 21-40 (1990)] that every planar partial 3-tree is a subgraph of a planar 3-tree. This fact has already enabled to prove a couple of results for planar partial 3-trees by induction on the structure of the underlying planar 3-tree completion. We provide an explicit proof of this observation and strengthen it by showing that one can keep the plane drawing of the input graph unchanged.

研究の動機と目的

• 『平面的部分3木』と『部分平面的3木』の間の意味的・構造的曖昧さを解消し、これらが同値なクラスであることを証明すること。
• すべての平面的部分3木が、元の平面的埋め込みを保ったまま平面的3木に拡張可能であることを構成的証明すること。
• ColbournとEl-Mallahの先行結果を強化し、頂点の追加を避け、辺の追加のみでかつ埋め込みを保つこと。
• 平面的3木構造に基づく帰納的証明をグラフ描画分野で信頼できて、その構造的基盤を強固にすること。

提案手法

• 3木の完全消去順序（PES）の存在を活用し、頂点数に関する帰納法を用いる。
• グラフの連結性に基づくケース分析：1連結、2連結、3連結成分。
• 2連結グラフの場合、最小カットに沿って部分グラフの平面的3木完成形を貼り合わせ、一方を他方の面内に埋め込む。
• 3連結グラフの場合、最小の超グラフが存在することを用い、最後の頂点をその3つの近傍によって囲まれる面に埋め込む。
• 平面三角形分割技術と面埋め込み貼り合わせを用い、拡張中に非交差描画を維持する。
• 追加された辺がすべて交差せずに描かれるように、既存の平面的3木完成形の三角形面内に新しい頂点を配置する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての平面的部分3木は、元の非交差描画を保ったまま平面的3木の超グラフをもつのか？
• RQ2 頂点の追加なしに、かつ埋め込みの歪みなしに、平面的3木への拡張が可能か？
• RQ3 平面的部分3木のクラスと部分平面的3木のクラスは同値であり、もしそうなら、どのような構造的条件下で同値となるのか？
• RQ4 この埋め込みを保つ超グラフの性質のおかげで、平面的3木構造に基づく帰納的証明を平面的部分3木に信頼性を持って適用できるか？
• RQ5 連結性（1-、2-、3-連結）は、この拡張プロセスにおける埋め込みの構築にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 3つの頂点以上の平面的部分3木は、元の非交差描画を保ったまま、平面的3木のスパニング部分グラフである。
• 拡張プロセスでは頂点ではなく辺のみが追加され、平面性および元の埋め込みが常に維持される。
• 2連結グラフの場合、最小カットに沿って2つの平面的3木完成形を貼り合わせ、一方を他方の面内に埋め込む。
• 3連結グラフの場合、完全消去順序における最後の頂点は、超グラフのその3つの近傍によって囲まれる面に埋め込まれる。
• この結果により、『平面的部分3木』と『部分平面的3木』のクラスが同値であることが確認され、平面的3木構造に基づく帰納的証明が正当化される。
• 証明は、接触表現や平面的部分3木の有界傾き描画といった、グラフ描画分野における先行結果を裏付ける構成的メソッドを提供する。